Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа

Вычеркнем в матрице k строчек и k столбцов. Определитель матрицы, составленный из элементов, стоящих на пересечении вычеркнутых строчек и столбцов, называется минором k-го порядка:

где – номера вычеркнутых строчек,

– номера вычеркнутых столбцов.

Возьмем квадратную матрицу n-го порядка. Вычеркнем k строчек и k столбцов и, не нарушая порядка, сдвинем оставшиеся элементы. Определитель М полученной матрицы (n – k) – го порядка называется дополнительным минором. Пусть – сумма номеров вычеркнутых строчек и столбцов. Тогда произведение дополнительного минора на называется алгебраическим дополнением минора М

Теорема.Произведение слагаемого минора на слагаемое его алгебраического дополнения есть слагаемое определителя исходной матрицы.

Доказательство. Предположим вначале, что минор взят в левом верхнем углу

Произведение слагаемого минора на слагаемое его алгебраического дополнения имеет вид:

Последнее произведение и есть слагаемое определителя исходной матрицы

Пусть теперь – номера вычеркнутых строчек, а – номера вычеркнутых столбцов. Переместим строчку i₁на первое место, переставляя ее последовательно с соседней строчкой , строчку i₂ на второе место, переставляя ее последовательно с соседней строчкой раза и т.д. Переместим столбец j₁на первое место, столбец j₂на второе место и т.д. Пусть d – определитель исходной матрицы, а d₁ – определитель преобразованной матрицы. Тогда

В определителе d₁выбранный минор оказался в левом верхнем углу и по доказанному при рассмотрении первого случая произведение с слагаемого a этого минора на слагаемое b его алгебраического дополнения есть слагаемое определителя d₁: c= ab. А из равенства следует, чтопроизведение слагаемого a минора на слагаемое его алгебраического дополнения есть слагаемое определителя d. ■

Теорема Лапласа. Сумма произведений всех миноров k-го порядка, стоящих на фиксированных k строчках, на их алгебраические дополнения равна определителю исходной матрицы.

Доказательство. В миноре k-го порядка k!разных слагаемых, а в его алгебраическом дополнении ( n-k)! разных слагаемых. Перемножая минор и его алгебраическое дополнение, мы получим k!( n-k) разных слагаемых определителя. А для всех миноров k-го порядка, стоящих на фиксированных k строчках, получим разных слагаемых исходного определителя, т.е. сам определитель.

Ясно, что аналогичное утверждение верно и для столбцов. ■

Следствие 1. Сумма произведений всех элементов строчки (столбца) на их алгебраические дополнения равна определителю

Доказательство. Сформулирован частный случай теоремы Лапласа при k = 1 – разложение определителя по строчке (столбцу).

Следствие 2. Сумма произведений всех элементов строчки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строчки (столбца) равна определителю

Доказательство. Рассмотрим квадратную матрицу, имеющую две одинаковые строчки i и j, на месте строчки i находится строчка j. Ее определитель равен нулю. Разложив определитель по строчке i,получим сформулированное равенство.

Матрица, составленная из блоков А, В, нулевого и произвольного

где А и В – квадратные матрицы, называется, ступенчатой.

Теорема (об определителе ступенчатой матрицы)

Доказательство. Зафиксируем n строчек, на которых расположена матрица А. Все миноры n-го порядка, стоящие на этих строчках, содержат столбец из нулей и поэтому равны нулю, кроме одного, равного определителю матрицы А. Алгебраическое дополнение этого минора равно определителю матрицы В. По теореме Лапласа ■

Теорема. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению их определителей.

Доказательство. Рассмотрим ступенчатую матрицу

По теореме Лапласа Определитель этой же матрицы F, пользуясь свойствами определителей, можно преобразовать к виду

(прибавляя к первой строчке (n+1)-ю, домноженную на a₁₁ , (n+2)-ю, домноженную на a₁₂ и т.д.). Отсюда вновь по теореме Лапласа

■