Умножение матриц

Произведением строчки на столбец называется сумма произведений соответствующих элементов

Перемножать можно только строчку на столбец, если они имеют одно и то же число элементов.

Пусть даны две матрицы

причем число столбцов матрицы А равно числу строчек матрицы В.

Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С, у которой на пересечении строчки i и столбца j находится произведение i-той строчки матрицы А на j-тый столбец матрицы В, т.е.

Чтобы перемножить две матрицы надо каждую строчку матрицы А умножить на каждый столбец матрицы В. В этом заключается правило: строчка на столбец. Схематически это правило можно изобразить так

Строения перемножаемых матриц связаны условием: число столбцов первого сомножителя равно числу строчек второго. Тогда число строчек произведения равно числу столбцов второго сомножителя. Изобразим это схематически:

Пример.

Тогда

Свойства умножения матриц:

1) Умножение матриц некоммутативно, т.е. существуют матрицы, для которых АВ¹ВА.

2) Если имеют смысл произведения матриц АВ и ВС, то также имеют смысл произведения (АВ)С и А(ВС) и (АВ)С = А(ВС) (закон ассоциативности умножения матриц).

3) Если имеют смысл АВ, ВС и АВ+АС, то имеет смысл и произведение А(В+С), причем А(В+С) = АВ +АС (закон дистрибутивности умножения матриц относительно сложения слева). Имеет место также и аналогичный закон справа.

4) l(АВ) = (lА)В, l(АВ) = А(lВ).

5) Е_mА = А, АЕ_n = А, где Е_m и Е_n – квадратные матрицы соответственно порядков m и n, у которых на главных диагоналях расположены единицы, а на остальных местах нули.

6) (АВ)^Т = В^ТА^Т,

7) А^kА^l = А^k+l, где А⁰ = Е, А¹ = А, А² = АА, А^k = А^k-1А.