Сложение матриц и умножение матрицы на число

Глава 2.2. Матрицы и определители

Матрицейназывается прямоугольная таблица чисел

Можно рассматривать матрицы, элементами которых являются не только числа. Мы ограничиваемся здесь числовыми матрицами для простоты. Элементы матрицы зачитываются так: а один один, а один два и т.д. Как видим, элементы матриц располагаются по строчкам и столбцам. Если в матрице m строчек и n столбцов, то будем говорить, что матрица А имеет строение m x n. Если число строчек и столбцов равно одному и тому же числу n, то матрица называется квадратной порядка n. Матрица вида

называется матрицей-строчкой или просто строчкой. Матрица вида

называется матрицей-столбцом или просто столбцом. Две матрицы А и В одного строения

называются равными, если у них все соответствующие элементы равны, т.е.

Возьмем две матрицы А и В одного строения. Матрица С, имеющая такое же строение, называется их суммой, если ее элементы равны суммам соответствующих элементов матриц А и В. Проще говоря, для того, чтобы сложить матрицы, надо сложить их соответствующие элементы

Пример.

Тот факт, что складывать можно только матрицы одного строения, изобразим схематически

Свойства сложения матриц:

1) А+В = В+А (закон коммутативности сложения),

2) (А+В)+С = А + (В+С) (закон ассоциативности сложения),

3) если 0 – нулевая матрица, все элементы которой равны нулю, того же строения, что и строение матрицы А, то А+0=А, 0 +А=А (существование нейтрального элемента относительно сложения).

Разностью В-А матриц В и А одинакового строения называется матрица С, которую надо прибавить к А, чтобы получить В:

А + С = В, С = В – А.

Разность 0–А обозначается -А, т.е. А + (-А) = О.

Матрица -А называется противоположной матрице А.

Из свойств ассоциативности сложения матриц следует, что имеет смысл сумма трех матриц А₁ + А₂ + А₃ = (А₁ + А₂) + А₃ и сумма любого конечного числа матриц одного строения А₁ +...+ А_n = (А₁ +...+А_n-1) +А_n.

Произведением матрицы А на число l называется матрица, получающаяся из А умножением всех ее элементов на l.

При умножении матрицы на число получается матрица того же строения.

Свойства умножения матрицы на число:

1) (lm)А = l(mА),

2) (l+m)А = lА + mА,

3) l(А+В) = lА + lВ,

4) 1А = А,

5) 0А = О,

6) (-1)А = -А.

Упражнения и задачи

1) Проверить сформулированные свойства на примерах. Доказать их.

2) Матрица А^T называется транспонированной для матрицы А, если ее строчки – это столбцы матрицы А. Доказать, что

(А+В)^T = А^T +В^T , (lА)^T = l(А)^T.