Теорема о мощности прямого произведения

Пусть - конечные множества. Соответственно мощности этих множеств равны: .

Тогда мощность прямого произведения множеств равна произведению мощностей соответствующих множеств, т.е. .

Доказательство методом математической индукции.

Для теорема тривиально верна. Предположим, что она верна и для и докажем ее справедливость для .

По предположению . Возьмем любой вектор из и припишем справа элемент . Это можно сделать способом, т. е. получим различных векторов из .

Таким образом, из всех векторов приписыванием справа элемента из можно получить векторов, причем все они различны. Поэтому для теорема верна и, следовательно, верна для любых .

Следствие:

8. Отношения. Основные понятия отношений (отношения; унарные, бинарные, n-местные отношения)

Отношения это один из способов задания взаимосвязи между элементами множества. ОТНОШЕНИЕ - подмножество конечной декартовой степени данного множества А, т. е. подмножество систем (a₁, а₂,.., a _п).из пэлементов множества А.

Подмножество наз. п- местным, или n-арным, отношением в множестве А. Число n наз. рангом, или типом, отношенияR. Подмножество наз. также n-местным, или n-арным, предикатом на множестве А . Запись означает, что .Одноместные О. наз. свойствами. Двуместные О. наз. бинарными, трехместные О. - тернарными и т. д.

В математике бинарным отношением называется подмножество декартова произведения двух множеств. В частности, бинарным отношением на множестве называется непустое множество упорядоченных пар элементов этого множества. Бинарное отношение R из множества А в множество В называется подмножества прямого произведения А и В.

По существу одноместное (унарное) отношение есть подмножество некоторого множества М. Установить на М унарное отношение означает приписать некоторым его элементам признак R.

На языке теории множеств и алгебры n-местнымотношением называется множество (класс) упорядоченных систем из n элwементов (упорядоченных n-ок, соответственно — упорядоченных пар) членов некоторого множества. Это множество назвается полем данного отношения.

Если, например, упорядоченная пара (х, у) принадлежит некоторому отношению R, то говорят также, что х находится в отношении R к у (символически: R(xy) или xRy).

Отношения. Бинарные отношения. Основные понятия (определение, обозначения, область определения, область значений, способы задания бинарных отношений). Привести примеры.

Отношения это один из способов задания взаимосвязи между элементами множества. ОТНОШЕНИЕ - подмножество конечной декартовой степени данного множества А, т. е. подмножество систем (a₁, а₂,.., a _п).из пэлементов множества А.

Подмножество наз. п- местным, или n-арным, отношением в множестве А. Число n наз. рангом, или типом, отношенияR. Подмножество наз. также n-местным, или n-арным, предикатом на множестве А . Запись означает, что .Одноместные О. наз. свойствами. Двуместные О. наз. бинарными, трехместные О. - тернарными и т. д.

R называют бинарным отношением на множестве A, если . При этом вместо записи часто используют запись xRy.

Если то говорят, что R определено на паре множеств A и B.

Множество всех первых элементов пар из R называется областью определения отношения R и обозначается как .

Множество всех вторых элементов пар из R называется областью значения отношения R и обозначается как .

Инверсия(Обратное отношение) R — это множество и обозначается, как R ^{− 1}.