Свойства определителей.

Свойство 1. Если в определителе все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

Доказательство. Доказательство следует из определения определителя, так как в любое слагаемой в качестве одного из сомножителей будет нулевой элемент.

Для остальных свойств нам понадобится теорема Лапласа.

Пусть А – квадратная матрица п-го порядка.

Определение. Минором порядка k данной матрицы называется определитель матрицы, составленной из элементов, расположенных на пересечение выбранных k строк и k столбцов. Минором, дополнительным к данному минору порядка k, называется минор n-k порядка, матрица которого получается из исходной посредством вычеркивания строк и столбцов, содержащих данный минор.

Определение. Алгебраическим дополнением к данному минору называется дополнительный минор, умноженный на , где - номера строк и столбцов соответственно, на пересечении которых расположен данный минор.

Теорема Лапласа. Пусть в матрице определителя выбраны k строк. Определитель равен сумме произведений всех миноров порядка k, составленных из этих строк, на их алгебраические дополнения.

Доказательство этой теоремы довольно громоздко, поэтому его рассматривать не будем.

Из теоремы Лапласа следует, что определитель ступенчатой матрицы п-го порядка вида , где А и В – квадратные матрицы k-го и (n-k)-го порядка соответственно, О – нулевая матрица размера и С – некоторая матрица размера , равен произведению определителей матриц А и В.

Свойство 2. Разложение определителя по строке (столбцу)