Определители

Определение. Определителем квадратной матрицы порядка n (или определителем n-го порядка) называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца, и снабженных определенным знаком..

Для определения знака соответствующего произведения нам понадобятся элементарные знания из теории перестановок. Переставляемыми элементами будем считать числа натурального ряда. Предложения, касающиеся перестановок, будем принимать без доказательств.

Предложение 1. Число всех перестановок n элементов равно .

Пусть - некоторая перестановка чисел 1, 2, …, n. Будем говорить, что пара чисел , , образует инверсию, если . Число всех пар элементов перестановки, образующих инверсию, называется числом инверсий в перестановке и обозначается . Например, среди последовательности чисел 3, 5, 1, 4, 2, 6, 8, 7 инверсии образуют пары чисел (3, 1), (3, 2), (5, 1), (5, 4), (5, 2), (4,2) и (8, 7), поэтому inv (3, 5, 1, 4, 2, 6, 8, 7) = 7.

Перестановки, содержащие четное число инверсий, называются четными, содержащие нечетное число инверсий – нечетными.

Определение. Подстановкой на множестве 1, 2, …, n называется взаимно однозначное отображение множества на себя.

Подстановку удобно задавать прямым указанием замен для каждого элемента, посредством записи образа под прообразом, например, .При этом порядок расположения столбцов безразличен. Последовательное применение двух подстановок приводит к подстановке, называемой их произведением. При умножении подстановок имеет место ассоциативность. Умножение подстановок, вообще говоря, не является коммутативным.

Определение. Подстановка называется транспозицией, если она п-2 элемента оставляет на своих местах, а остальные два элемента переставляет местами.

Предложение 2. Пусть в некоторой перестановке сделана транспозиция. Она равна произведению нечетного числа транспозиций соседних элементов.

Пример. Рассмотрим транспозицию . Кратко эта транспозиция обозначается (2, 5). Между этими элементами расположены два элемента. Сначала переместим элемент 2 на место после элемента 5. Мы сделали последовательно три транспозиции. Далее, размещая элемент 5 после 1, сделаем еще две транспозиции Таким образом, сделано всего 5 (или 2п+1) транспозиции.

Предложение 3 При транспозиции соседних элементов число инверсий в подстановке меняется на одну единицу.

Следствие 1. Если в перестановке сделать транспозицию соседних элементов, то четность перестановки изменится на противоположную.

Следствие 2. Любая транспозиция меняет четность перестановки на противоположную.

Предложение 4. Число четных перестановок п элементов равно числу нечетных перестановок.

Предложение 5. Любая перестановка может быть получена из любой другой посредством нескольких транспозиций.

В основу расстановки знаков в слагаемых определителя положено разбиение на четные и нечетные перестановки. В каждом слагаемом определителя сомножители записываются в порядке следования строк, тогда номера столбцов образуют перестановки. Слагаемые, соответствующие четным перестановкам, берутся со знаком «плюс», соответствующие нечетным - со знаком «минус».

Определение. Минором (или ) (п-1)-го порядка элемента квадратной матрицы называется определитель матрицы, получающейся из матрицы исходного определителя посредством вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.

Определение. Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы называется определитель матрицы, получающийся из матрицы исходного определителя посредством замены элемента на единицу, а всех остальных элементов i-ой строки и j-го столбца на нули.

Алгебраическое дополнение отличается от соответствующего минора на множитель .