Синусоидально изменяющее напряжение

u = U_mSin(ωt + ψ_u) (12)

можно представить как разность сопряжённых к.ч.:

u = [U_m e ^{j(ωt+ )} - U_m e^{- j(ωt+ )}]= Im[U_m e ^{j(ωt+ )}] (13)

функция

U_m e ^{j(ωt+ )}= U_m e ^j e ^jω= U_m e ^jωt (14)

называется мгновенным комплексным напряжением u. Его также как величину u определяют при заданной частоте ω комплексной амплитудой U_m

и начальной фазой ψ_u . Вводя знак изображения →, запишем:

u= U_mSin(ωt + ψ_u) → U_m e ^{j(ωt+ )}= U_m e ^jωt=u (15)

Таким образом, для перехода от действительной синусоидальной функции (оригинала), к её изображающей комплексной величине (изображению) необходимо, чтобы модуль последней был равен амплитуде синусоидальной функции. Для обратного перехода от изображения к оригиналу необходимо найти Im(U_m e ^jωt).

Формально символическое (15) является результатом выполнения надсинусоидальной функцией (12) преобразования

U_m= , T= . (16)

*Введён в инженерную практику американскими инженерами и учёными А.Е. Канелли и Ч.П. Штейнметцем в 1893-1894 г.г.

Рассмотрим теперь выражение для производной u