Простейшие цепи переменного тока.

К простейшим относятся цепи, содержащие только один вид сопротивления – активное, индуктивное или емкостное.

4.2.1. Цепь содержащая активное сопротивление.

К цепи приложено напряжение u=Uм sin ώt

i Ток i, протекающий по цепи, вызовет

в ней падение напряжения iR. Причем

u = iR или i = u / R

u

R i = Uм sin ώt/R.

Ток достигает своего максимума при

sin ώt = 1, т.е.I_{м =} Uм / R.

Если в выражении левую и правую части разделить на √2, получим закон Ома, выраженный через действующие значения

I = U / R

U,I – действующие значения напряжения и тока;

R – активное сопротивление цепи.

В цепи с активным фазы у тока и у напряжения одинаковы, это означает, что разность фаз (сдвиг фаз) между током и напряжением отсутствует, т.е. φ = 0

I

U φ = 0

4.2.2. Цепь, содержащая индуктивное сопротивление.

Если электрическая цепь обладает только индуктивностью L (активное сопротивление катушки равно 0) и по ней проходит ток i= I_msin ώt,

i

u L

то он создаст переменный магнитный поток Ф.Силовые линии этого потока, пересекая витки катушки, будут индуктировать в ней э.д.с. е_l. Так как активное сопротивление равно 0, в цепи будут действовать только напряжение u и э.д.с. е_l, то по второму закону Кирхгофа:

u + e_l = 0; u = - e_l

По закону электромагнитной индукции е_l= - dФ / dt,где Ф = Li.

Тогда е_l= -dLi/dt. Если катушка не имеет стального сердечника или если он есть, то не насыщен, то L=const и этом е_l = -L di/dt. Учитывая это, получаем u = L di/dt =L d(I_msin ώt)/dt=LώI_mcos ώt. Если обозначить LώI_m=U_m, то получим

u = U_m cos ώt.

Сравнивая запись для тока, действующего в цепи с напряжением видим, напряжение опережает ток по фазе на 90⁰ (cos ώt = sin(ώt+90⁰)). Векторная диаграмма этой цепи представлена на рисунке. Действующее значение напряжения U = LώI, откуда

U_l

φ = + 90⁰ I = U/Lώ = U/x_l - Закон Ома

I х_l = Lώ = 2πfL – индуктивное сопротивление цепи (Ом).

4.2.3. Цепь, содержащая емкостное сопротивление.

Если цепь обладает только емкостью и к

u i c ней приложено напряжение u = U_m sin ώt,

х_с то конденсатор будет периодически

заряжаться и разряжаться. Заряд

конденсатора определится: q = Сu = CU_m sin ώt. Ток в цепи определится: i= dq/dt= CU_m ώ cosώt=

CU_m ώ sin(ώt +90⁰) или i = I_msin(ώt +90⁰),

сравнивая записи u = U_m sin ώt и i = I_msin(ώt +90⁰)приходим к выводу, что ток опережает напряжение на 90⁰. Векторная диаграмма имеет вид цепи представлена на рисунке.

IАмплитудное значение тока в цепи

φ = -90⁰ I_m= CU_m ώ =U_m / х_с.

Где х_с = 1/ Cώ =1/2πfс – емкостное

U_cсопротивление цепи (Ом)

Сделав переход от максимального значения кдействующим, получим закон Ома для цепи с емкостью:

I=U/X_c

4.2.4. Цепь, содержащая активное, индуктивное и емкостное сопротивления в последовательном соединении. Резонанс напряжений.

R

i

u с L

В рассматриваемой цепи приложенное напряжение распределяется между активным, индуктивным и емкостным сопротивлениями. При этом

U= U_r + U_l + U_c

В соответствии с этим выражением построим векторную диаграмму. Так как по всем участкам проходит один и тот же ток I, то за исходный вектор примем вектор этого тока. Затем отложим вектор напряжения U_r, приложенного к активному сопротивлению. Он совпадает по фазе с вектором тока. После этого построим вектора U_l и U_c, приложенные к индуктивному и к емкостному сопротивлениям.U_l будет опережать ток на 90⁰, а U_c отставать на 90⁰.Вектор напряжения U,приложенного к цепи, найдем как геометрическую сумму векторов напряжений U_r, U_l, U_c.

U_l

U_р = U_l-U_c) U

U_c U_rI

Из векторной диаграммы следует

U² = U²_r + (U_l –U_c)², где U_р = U_l –U_c – реактивная составляющая напряжения

Учитывая, что U_r = Ir, U_l =Ix_l и U_c = Ix_c, получим

U² = (Ir)² +(Ix_l – Ix_c)²,

Откуда U = I√ R² + (x_l –x_c)²

I = U /√ R² + (x_l –x_c)²

√ R² + (x_l –x_c)² = Z – называют полным сопротивлением.

I = U/Z – закон Ома.

Разность (х_l – x_c) = x_р –называют реактивным сопротивлением.

При х_l › x_c реактивное сопротивление имеет положительный знак,в этом случае φ › 0, т.е. ток отстает от напряжения. А при х_l ‹ x_c реактивное сопротивление отрицательное, φ ‹0, т.е.ток опережает напряжение.

Если х_{l =} x_c, то φ = 0, т.е. ток совпадает по фазе с напряжением. Этот случай получил название резонанса напряжений. При нем ток в цепи достигает наибольшего значения, т.к. в этом случае полное сопротивление принимает наименьшее значение и становится равным активному сопротивлению. Кроме того, при резонансе напряжений напряжение на зажимах индуктивного и емкостного сопротивлений могут значительно превышать напряжение, приложенное к сети. Это произойдет тогда, когда х_l и х_c, больше R

4.2.5. Цепь, содержащая активное, индуктивное и емкостное сопротивления в параллельном соединении. Резонанс токов.

U R x_l

Х_c

Токи протекающие через активное, индуктивное, емкостное сопротивления этой цепи будут определяться: I = U/R = Uq;

I = U/х_l = Ub_l; I = U/x_c = Ub_c, где q,;b_l; b_с – активная, индуктивная и емкостная проводимости. Общий ток в цепи (в неразветвленной части)

I = U/z = U y; z – полное сопротивление цепи; y – полная проводимость цепи.

С другой стороны, поскольку токи в ветвях имеют разные сдвиги фаз по отношению к напряжению, общий ток равен геометрической сумме токов, протекающих в параллельных ветвях, т.е. I = I_r + I_l + I_c

I_r – ток в ветви с активным сопротивлением (активный ток);

I_l - иок в ветви с индуктивным сопротивлением (индуктивный ток);

I_c – ток в цепи с емкостным сопротивлением (емкостной ток).

Векторная диаграмма для рассматриваемой цепи будет иметь вид:

I_c

I_l – I_c = I_р I

φ

I_lI_r U

Векторная диаграмма для рассматриваемой цепи представляет собой совокупность векторов токов и напряжения действующих в цепи. Алгебраическая разность между I_l и I_c называется реактивным током и обозначается I_р.

Из векторной диаграммы следует: I = √ I²_r + I²_р = I_r cosφ = Iр sinφ

При b_l› b_c реактивная проводимость имеет положительный знак, сдвиг фаз между напряжением и общим током будет иметь положительный знак (φ › 0), а стало быть ток будет отставать от напряжения .

При b_l‹ b_c реактивная проводимость отрицательная, сдвиг фаз тоже отрицательный (φ ‹0) и ток будет опережать напряжение.

При b_l= b_c сдвига фаз между напряжением и общим током не будет (φ = 0). Этот случай называется резонансом токов. При нем и токи I_l и I_c будут равны. Общий ток равен активному.

4.2.6. Мощность переменного тока.

В цепях переменного тока различают три вида мощностей: активная, реактивная и полная мощности. Связь между ними устанавливается при помощи треугольника мощностей.

U U_p I I_p IU=S I_pU_p=Q

φ φ φ

U_r I_r I_rU_r=P

Активная мощность определяется активной нагрузкой. Произведение напряжения на активную составляющую тока дает нам активную мощность: Р = U I_a = UI cos φ = I²R

Реактивная мощность определяется реактивной нагрузкой. Произведение напряжения на реактивную составляющую тока дает нам реактивную мощность: Q = U I_р = UI sin φ = I²X_p

В свою очередь произведение напряжения на полный ток дает величину полной мощности:

S = U I = I²Z.

Из треугольника мощностей следует:

P = S cos φ;

Q = S sin φ;

S = √ P² + Q² .

Входящий в выражение активной мощности коэффициент cos φ называется коэффициентом мощности. Повышение его значения имеет большое значение, т.к. с его учетом устанавливается тариф на электрическую энергию.

Тесты для контроля

1. Каковы свойства цепи при резонансе токов?

1. Сопротивление цепи активное и максимальное.

2. * cos φ=l.

3. * Ток и напряжение совпадают по фазе.

4. Ток в цепи максимальный.

5. Ток в цепи минимальный

1. В какой цепи можно получить резонанс напряжений?

1. R и L соединены последовательно.

2. R и С соединены последовательно.

3. * L и С соединены последовательно.

4. L и С соединены параллельно.

1. В какой цепи можно получить резонанс токов?

1. R и Z, соединены последовательно.

2. R и С соединены последовательно.

3. L и С соединены последовательно.

4. * L и С соединены параллельно.

4. Каковы свойства цепи при резонансе напряжений?

1. * Сопротивление цепи активное и минимальное.

2. * cos φ=l.

3. * Ток и напряжение совпадают по фазе.

4. Ток в цепи максимальный.

5. Ток в цепи минимальный.

Литература