Вычисление коэффициентов корреляции.

Коэффициентов корреляций очень много: линейные, множественные и частные коэффициенты корреляции. Рассмотрим лишь часть из них, которые учитывают наличие линейной связи между переменными. Их выбор зависит от шкал измерения переменных, зависимость между которыми мы хотим оценить.

Линейный коэффициент корреляции Пирсона.Он был впервые введен в начале 90-х гг. Пирсоном и характеризует тесноту и направление связи между двумя коррелируемыми признаками в случае наличия между ними линейной зависимости. В теории разработаны и на практике применяются различные модификации формул расчета данного коэффициента:

.

Таким образом, коэффициент корреляции характеризует степень приближения зависимости между случайными величинами к линейной функциональной зависимости. Значение коэффициента корреляции определяет, насколько зависимость между случайными переменными близка к линейной функциональной.

В исследованиях часто используют статистические показатели для измерения тесноты связи между качественными признаками. Это группа показателей статистической зависимости между признаками, которые иногда еще называют непараметрическими коэффициентами корреляции. Это коэффициент корреляции рангов (коэффициент Спирмена), коэффициент Кендалла, множественный коэффициент ранговой корреляции, коэффициент Чупрова, коэффициент Крамера, коэффициент ассоциации, тетрахорический коэффициент и др.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена.Если обе переменные измеряются в шкалах порядка, то в качестве меры связи используется коэффициент ранговой корреляции Спирмена (rs).

Например, попытаемя оценить соотношение между математическими и музыкальными способностями группы учащихся. «Уровень способностей» является переменной величиной в том смысле, что он варьируется от одного индивидуума к другому. Его можно измерить, если выставить каждому индивидууму отметки. Однако этот способ лишен объективнос-ти, так как разные экзаменаторы могут поставить одному и тому же учащемуся разные отметки. Элемент субъективизма можно исключить, если учащиеся будут ранжированы. Расположим учащихся по порядку, в соответствии со степенью способностей и присвоим каждому из них порядковый номер, который называется рангом. Корреляция между рангами более точно отражает соотношение между способностями учащихся, чем корреляция между отметками. Пусть n индивидуумов имеют по качеству А следующие ранги: X1,X2,…Xi…Xn, а по качеству В - Y1,Y2,…Yi…Yn, где все X и Y являются перестановками n первых чисел натурального ряда. Обозначим разность Xi - Yi = di. Значения d образуют меру тесноты соответствия между А и В. Если все d равны нулю, то соответствие полное.

Коэффициент корреляции рангов Спирмена является простой модификацией коэффициента корреляции Пирсона. Поскольку ранги являются некоторой перестановкой чисел 1, 2,..., n для каждой переменной, можно показать с помощью элементарных преобразований, что коэффициент ранговой корреляции Спирмена сводится к формуле:

d_i - разность рангов сравниваемых объектов;

n - количество сравниваемых объектов.

Значение коэффициента Спирмена изменяется в пределах от -1 до +1. В первом случае между анализируемыми переменными существует однозначная, но противоположно направленная связь (с увеличением значений одной уменьшаются значения другой). Во втором – с ростом значений одной переменной пропорционально возрастает значение второй переменной. Если величина r_s равна нулю или имеет значение, близкое к нему, то значимая связь между переменными отсутствует.

Значимость коэффициента корреляции рангов Спирмена проверяется на основе t-критерия Стьюдента.

Значение коэффициента корреляции считается статистически существенным, если t_р > t_кр ( p, k = n – 2).