Теоретические упражнения

1. Доказать, что если и , то .

2. Доказать, что операция нахождения декартова произведения множеств не коммутативна, то есть

.

3. Доказать, что операция нахождения декартова произведения множеств не ассоциативна, то есть

.

4. Доказать дистрибутивность справа операции нахождения декартова произведения относительно объединения множеств, то есть .

5. Доказать дистрибутивность слева операции нахождения декартова произведения относительно объединения множеств, то есть .

6. Доказать дистрибутивность справа операции нахождения декартова произведения относительно разности множеств, то есть .

7. Доказать дистрибутивность слева операции нахождения декартова произведения относительно объединения множеств, то есть .

8. Доказать, что для бинарного отношения выполняется закон идемпотентности, то есть .

9. Доказать, что для бинарного отношения выполняется закон инволюции, то есть .

10. Доказать, что бинарное отношение, обратное объединению данных бинарных отношений, есть объединение отношений, обратных данным, то есть .

11. Доказать, что бинарное отношение, обратное пересечению данных бинарных отношений, есть пересечение отношений, обратных данным, то есть .

12. Доказать, что композиция отношений на множестве М является отношением на множестве М.

13. Доказать, что композиция отношений не обладает коммутативностью, то есть

.

14. Доказать, что композиция отношений обладает ассоциативностью, то есть

.

15. Проверить, является ли симметричное и одновременно антисимметричное отношение на множестве М еще и транзитивным.

16. Проверить, является ли симметричное и одновременно антисимметричное отношение на множестве М еще и рефлексивным.

17. Проверить, является ли симметричное и транзитивное отношение на множестве М еще и рефлексивным.

18. Доказать, что если отношение на множестве М рефлексивно, то рефлексивно и обратное отношение .

19. Доказать, что если отношения и на множестве М рефлексивны, то рефлексивны отношения , .

20. Доказать, что если отношения и на множестве М рефлексивны, то рефлексивно и отношение .

21. Доказать, что если отношение на множестве М антирефлексивно, то антирефлексивно и обратное отношение .

22. Доказать, что если отношения и на множестве М антирефлексивны, то антирефлексивны отношения и .

23. Доказать, что если отношение на множестве М симметрично, то симметрично и обратное отношение .

24. Доказать, что если отношения и на множестве М симметричны, то симметричны отношения , .

25. Доказать, что если отношения и на множестве М антисимметричны, то антисимметрично отношение .

26. Доказать, что если отношения и на множестве М транзитивны, то транзитивно и отношение .

27. Доказать, что если отношения и на множестве М являются отношениями эквивалентности, то отношение также является отношением эквивалентности.

28. Доказать, что классы эквивалентности некоторого множества М по отношению φ являются не пустыми множествами.

29. Доказать, что никакие два класса эквивалентности некоторого множества М по отношению φ не пересекаются.

30. Доказать, что объединение всех классов эквивалентности некоторого множества М по отношению φ совпадает с самим множеством М.

31. Доказать, что любое разбиение множества М можно рассматривать как фактор-множество множества М по некоторому отношению эквивалентности φ.

32. Доказать, что пересечение любых отношений эквивалентности на множестве М является отношением эквивалентности на множестве М.

33. Доказать, что композиция функций является функцией.

34. Доказать, что композиция инъективных функций является инъективной функцией.

35. Докажите, что если f – функция и А и В – некоторые множества, то .

36. Докажите, что если f – функция и А и В – некоторые множества, то .

37. Докажите, что если f – инъективная функция и А и В – некоторые множества, то .

38. Пусть f – отображение множества А в В, g – отображение В в С. Докажите, что если инъективно, то f инъективно.

39. Пусть f – отображение множества А в В, g – отображение В в С. Докажите, что если есть отображение А на С, то g есть отображение B на С.

40. Доказать, что ядро функционального отношения f является отношением эквивалентности на области определения функционального отношения f.