Множества и отношения
Задания
1. Доказать с помощью основных тождеств и показать на диаграммах Эйлера-Венна.
2. Доказать по определению.
3. Проверить с помощью диаграмм Эйлера-Венна утверждение, доказать каким-либо способом.
4. Отношения.
a) Построить примеры пар отношения.
b) Построить графическое представление.
c) Выяснить свойства отношения: рефлексивность, симметричность, транзитивность, антисимметричность.
5. Какими свойствами обладает данное отношение?
6. Проверить является ли бинарное отношение функцией, отображением, выполняются ли свойства инъективности и сюръективности.
Вариант 1
1. 
2. 
3. 
4. N=1,2,...,10, 
5. «Быть братом» на множестве людей.
6. 
Вариант 2
1. 
2. 
3. 
4. 
, 
5. «Быть дедом» на множестве людей.
6. 
Вариант 3
1. 
2. 
3. 
4. 
, 
5. «Быть делителем» на множестве натуральных чисел.
6. 
Вариант 4
1. 
2. 
3. 
4. 
, 
- четно, 
5. «Быть похожим» на множестве предметов.
6. 
Вариант 5
1. 
2. 
3. 
4. 
, 
- четно, 
5. «Быть выше ростом» на множестве людей.
6. 
Вариант 6
1. 
2. 
3. 
4. , 
5. «Служить моделью» на множестве произвольных объектов.
6. 
Вариант 7
1. 
2. 
3. 
4. , 
5. «Отражать» на множестве отражающих объектов.
6. 
Вариант 8
1. 
2. 
3. 
4. 
, 
5. «Жить рядом» на множестве людей.
6. 
Вариант 9
1. 
2. 
3. 
4. , 
5. «Жить рядом» на множестве жильцов одного дома.
6. 
Вариант 10
1. 
2. Если 
, то 
3. 
4. , - нечетно,
5. «Быть больше» на множестве целых чисел.
6. 
Вариант 11
1. 
2. Пусть 
3. 
4. , 
5. «Быть больше» на множестве действительных чисел.
6. 
Вариант 12
1. 
2. 
и 
3. 
4. 
, 
5. «Быть меньше» на множестве действительных чисел.
6. 
Вариант 13
1. 
2. 
и 
3. 
4. ,
5. «Быть коллекционером» на множестве людей.
6. 
Вариант 14
1. 
2. Если 
3. 
4. , 
5. «Быть непохожим» на множестве людей.
6. 
Вариант 15
1. 
2. 
3. 
4. , 
5. «x пересекается с y» на множестве прямых.
6.
Вариант 16
1. 
2. 
3. 
4. , 
5. «x параллельна y» на множестве прямых.
6.
Вариант 17
1. 
2.
3. 
и 
4. N={1,2,...,10}, 
5. «x перпендикулярна y» на множестве прямых.
6.
Вариант 18
1. 
2.
3. 
4. , 
5. «Пересечение x и y пусто» на семействе множеств.
6.
Вариант 19
1.
2. 
3. 
и 
4. 
,
5. «Пересечение x и y не пусто» на семействе множеств.
6.
Вариант 20
1. 
2.
3. 
4. , 
- четно,
5. «x любит y» на множестве людей.
6.
Вариант 21
1. 
2.
3. 
4. 
5. «x знаком с y» на множестве людей.
6.
Вариант 22
1. 
2.
3. 
4. 
5. “x и y студенты одной группы” на множестве студентов.
6.
Вариант 23
1. 
2.
3. 
и 
4. 
5. «Быть родственником» на множестве людей.
6.
Вариант 24
1. 
2. Если , то
3. 
и 
4. 
5. «Быть предком» на множестве людей.
6.
Вариант 25
1. 
2. Пусть 
3. 
4. 
5. «Быть начальником» на множестве людей.
6.
Вариант 26
1. 
2. и
3. 
4. 
, 
5. «Жить рядом» на множестве людей одной улицы.
6.
Вариант 27
1. 
2. 
и
3. 
и 
4. 
, 
5. «Быть старше» на множестве людей.
6.
Вариант 28
1. 
2. Если
3. 
4. , 
5. «Быть непохожим» на множестве людей.
6.
Вариант 29
«Быть студентом» на множестве людей
Вариант 30
Пусть 
, 
«х и y - студенты одного института» на множестве студентов
Основные понятия и определения
· Под множествомпонимается совокупность определенных и различимых между собой объектов, эти объекты называются элементами множества.
· Объединением множеств 
и 
называется множество:
· 
· Пересечением множеств и называется множество:
· 
· Разностью множеств 
и называется множество:
· 
· Универсальное множество 
- множество, для которого в ходе какого-либо рассуждения все множества являются подмножествами.
· Дополнение (до ) множества : 
· Симметрическая разностьмножеств и :
· 
· Прямым произведением множеств и называется множество 
:
· 
· Бинарным (двуместным) отношением 
называется множество упорядоченных пар 
или 
· Обратное отношение 
· Композиция отношений 
· Отображением 
в 
называется всюду определенное соответствие, такое что 
, т.е. 
· Функцией называется бинарное отношение, обладающее свойством для любых пар 
.
· Функция называется инъективной, если для любого 
.
· Функция называется сюръективной, если для любого 
.
· Функция называется биективной, если f инъективна и сюръективна.
· Специальные бинарные отношения
· Отношение 
на множестве Х называется рефлексивным, если 
выполняется 
.
· Отношение на множестве Х называется симметричным, если 
из того, что следует, что 
.
· Отношение на множестве Х называется транзитивным, если 
из того, что и 
· Отношение на множестве Х называется антисимметричным, если 
из того, что и 
· Отношение частичного порядка – рефлексивное, антисимметричное, транзитивное.
· Отношение линейного порядка – это отношение частичного порядка, у которого любые два элемента сравнимы.
· Отношение эквивалентности – рефлексивное, симметричное, транзитивное.
· Отношение сравнимости по модулю z на множестве M: r={<x,y>| x,yÎM, y=x±kz, k=0,1,...}.
· Класс эквивалентности, порожденный элементом x: [x]={yÎM| xry}, r- отношение эквивалентности на множестве M.
Пример выполнения заданий
1. 
2. 
3. 
4.N={1,2,...10}, 
5. “Быть подмножеством” на семействе множеств.
6. f={<x,y>| y=x2+3x+5}
Решение:
1.
2. а) Пусть
б) Пусть
в) из а и б 
выполнение равенства.
3.
4.
а) 
= {<1,1>, <1,2>, <2,1>, <2,2>, <2,3>, <3,1>, <3,6>, <4,3>, ...}
б)
в) Несимметрично, т.к. для пары <3,1> не существует пары <1,3>
Рефлексивно, т.к. для 
найдется пара <x,x>. Например, <1,1>, <2,2>, <3,3> и т.д.
Не транзитивно, т.к. для пар <1,2> ,<2,3> не существует пары <1,3>
Не антисимметрично, т.к. есть пары <1,2>, <2,1> при этом 1 
2
5. а) антисимметрично, т.к. из того, что 
, а 
следует, что 
б) несимметрично, т.к. из того что , не следует, что 
в) рефлексивно, т.к. любое множество 
г) транзитивно, т.к. из того, что , а 
следует, что 
6. Отношение f является функцией, т.к. каждому значению x соответствует единственное значение y.
Отношение f не является инъективным, т.к. значению y соответствуют два значения x. Например, y=5, x1=0, x2= -3.
Отношение f не является сюръективным, т.к. не существует x для отрицательных значений y.
