МЕТОДЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОИЗВОДНЫХ

Рассмотренные в предыдущем разделе методы поиска основываются на предположениях об унимодальности и в ряде случаев о непрерывности исследуемой целевой функции. Целесообразно предположить, что если в дополнении к условию непрерывности ввести требование дифференцируемости функции, то эффективность поисковых процедур можно существенно повысить.

2.3.1. Метод Ньютона.

В рамках схемы Ньютона предполагается, что функция f дважды дифференцируема. Работа алгоритма начинается в точках x₁, которая представляет начальное приближение и строится по рекурентному соотношению x_k+1 = x_k - [f'(x_k)/f''(x_k)], где присутствуют первая и вторая производные. Однако, в зависимости от выбора начальной точки и вида функции алгоритм может как сходиться к истинной стационарной точке, так и расходиться. Несмотря на этот недостаток метод Ньютона требует наименьшего количества расчетов функции.

Алгоритм метода Ньютона.

Начальный этап. Задать начальную точку x₁ и точность поиска e_. Положить k=1 и перейти к основному этапу.

Основной этап. Шаг 1. Вычислить x_k+1 = x_k - [f'(x_k)/f''(x_k)]. Перейти к шагу 2.

Шаг 2. Если / x_k+1 - x_k /<e, то расчет закончен и экстремум находится в точке x_k+1. Иначе вернуться к шагу 1.

Пример расчета экстремума функции методом Ньютона.

Постановка задачи. Найти минимум функции f(x) = (5-x)² + 2x-10 с точностью e=0,1.

Выбираем начальную точку x₁=-10. Результаты расчетов приведены в таблице 2.9.

Таблица 2.9

Расчет экстремума функции f(x) = (5-x)² + 2x-10 методом Ньютона.

Таки образом экстремум в точке x =4 найден за две итерации с точностью e=0_.

2.3.2 Метод средней точки.

В методе средней точки вычисляется производная функции f'( ) в средней точке =(a₁+b₁)/2 исходного отрезка и, если значение производной больше нуля, то новый интервал неопределенности будет [a₁; ], а если меньше нуля, то [ ; b₁]. Полученный интервал обозначается как [a₂; b₂], и процедура расчета повторяется до тех пор, пока не будет выполняться условие окончания поиска | b_k – a_k| < l.