Вычисление производных

Mathcad предлагает два оператора для нахождения численного значения производных функции в заданной точке: оператор для нахождения первой производной и универсальный оператор для нахождения производной n‑го порядка.

Чтобы найти производную функции в точке:

1.Определите точку х, в которой нужно найти производную, например, х:=1.

2.Ниже определения точки введите оператор дифференцирования, нажав кнопку на панели Вычисления(Calculus) или нажмите клавишу <?>.

3.Введите в местозаполнитель в знаменателе имя переменной х, а во второй месозаполнитель – функцию, зависящую от х, например, cos(x)·ln(x).

4.Введите оператор численного <=> или символьного <à> вывода для получения ответа.

Замечание.Для численного дифференцирования обязательно предварительно нужно определить точку, в которой вычисляется производная. Иначе будет выдано сообщение об ошибке. Между тем символьное дифференцирование не требует обязательного явного задания точки дифференцирования. В этом случае вместо числового значения производной будет выдана аналитическая зависимость.

Рис. 21. Численное и символьное дифференцирование

Можно, как и при использовании других операторов, предварительно определить функцию в отдельном выражении, а затем посчитать ее производную.

Чтобы найти производную n-го порядка:

1.Определите точку, в которой необходимо найти производную.

2.Ниже определения точки введите оператор дифференцирования, нажав кнопку на панели Вычисления(Calculus) или нажмите клавиши <Ctrl>+<?>.

3.Введите в местозаполнитель в знаменателе имя переменной, по которой производится дифференцирование.

4.В местозаполнитель выше и правее от предыдущего введите порядок производной. Это должно быть целое число от 0 до 5. Обратите внимание, что поле в числителе автоматически отображает любой порядок, печатаемый в знаменателе.

5.В последний местозаполнитель введите выражение, которое нужно дифференцировать.

6.Введите оператор численного <=> или символьного <à> вывода для получения ответа.

При n=1 этот оператор дает тот же самый результат, что и рассмотренный ранее оператор производной. При n=0 возвращается значение функции.

Хотя дифференцирование возвращает только одно число, можно определить одну функцию как производную другой функции. Например, вычисление F(x) будет возвращать в численной форме производную g(x) в точке х. Эта методика может быть использована для вычисления производной функции в последовательности точек.

Замечание.Чтобы вычислить производную порядка выше 5-го, следует последовательно применить несколько раз оператор n-й производной. Однако символьный процессор умеет считать производные порядка выше 5-го.

Рис. 22. Численное и символьное вычисление седьмой производной

ЗАДАНИЕ 10.Вычислить, используя операторы численного дифференцирования:

1.Первую и третью производные функции Y = 5*x⁸в точке x=3.

2.Первую и третью производные функции Y = 5*x⁸ для всех четных значений х в диапазоне от 10 до 20.

3.Первую и третью производные функции Y = 5*x⁸ для 5 значений х: 1; 2.5; 3.8; 4.2; 12.4.