Разложение в ряд Тейлора

С помощью символьного процессора Mathcad можно получить разложение выражения в ряд Тейлора по любой переменной х в точке х₀=0, т.е. представить выражение в окрестности точки х суммой вида a₀ +a₁x+a₂x²+a₃x³+… . Здесь a_i – некоторые коэффициенты, не зависящие от х, но, возможно, являющиеся функциями других переменных, входящих в исходное выражение.

Чтобы разложить выражение в ряд с помощью меню:

1.Введите выражение, например, sin(x).

2.Выделите переменную, по которой требуется получить разложение в ряд, например, х.

3. В меню Символика(Symbolic) выберите команду Переменная(Variable) \ Разложить в ряд(Expand to Series).

4. В появившемся диалоговом окне введите желаемый порядок аппроксимации, например, 4 (это определит число членов разложения).

5. Нажмите кнопку ОК.

Результат разложения появится под выражением. Символом “О” обозначается остаточный член разложения. Прежде чем использовать разложение для дальнейших вычислений, следует удалить этот остаточный член.

Чтобы разложить выражение в ряд Тейлора с помощью оператора à:

1. Введите выражение, например, sin(x).

2. Нажмите кнопку series на панели Символика(Symbolic).

3. Введите в первый местозаполнитель после вставленного ключевого слова series имя переменной, относительно которой требуется разложить на простые дроби (например, введите х), а во второй – порядок остаточного члена (например, 4).

4. Нажмите клавишу <Enter>.

ПРИМЕР 1.Проверьте разложение в ряд с разным порядком аппроксимации:

а)sin(k∙x²+b∙x) series,x,2 à b∙x;

б)sin(k∙x²+b∙x) series,x,3 à k∙x² + b∙x;

в)sin(k∙x²+b∙x) series,x,4 à b∙x + k∙x² - 6^-1∙b³∙x³;

г)sin(k∙x²+b∙x) series,x,5 à b∙x + k∙x² - 6^-1∙b³∙x³ - 2^-1∙k∙b²∙x⁴.

ПРИМЕР 2.Проверьте разложение в ряд по разным переменным:

а)sin(k∙x²+b∙x) series,k,3 à sin(b∙x)+cos(b∙x)∙x²k–2^-1∙sin(b∙x)∙x⁴∙k²;

б)sin(k∙x²+b∙x) series,b,3 à sin(k∙x²)+cos(k∙x²)∙x∙b–2^-1∙sin(k∙x²)∙x²∙b².

Замечание. Команда Разложить в ряд ограничивается разложением в ряд по одной переменной; любые другие переменные в выражении обрабатываются как константы.

ЗАДАНИЕ 7.Разложите в ряд Тейлора функции:

а)f(x) = exp(a x); б)f(x) = exp(-a x²); в)f(x) = cos(x).