Отношения

Отношения – один из способов задания взаимосвязей между элементами множества. Наиболее изученными и чаще всего используемыми являются так называемые унарные и бинарные отношения.

Унарные (одноместные) отношения отражают наличие какого–то определенного признака у элементов множества (например, «быть белым» на множестве шаров в урне). Тогда все элементы из , которые отличаются данным признаком , образуют некоторое подмножество в , называемое унарным отношением , т.е. и .

Прежде, чем рассматривать бинарные или двухместные отношения введем понятия упорядоченной пары и прямого произведения множеств.

Пусть и элементы множеств и , соответственно. Тогда через будем обозначать упорядоченную пару, причем, в общем случае, .

Пусть и – два множества. Прямым (декартовым) произведением двух множеств и называется множество всех упорядоченных пар, в котором первый элемент каждой пары принадлежит , а второй принадлежит :

.

Пример. Классическим примером упорядоченных пар могут служить координаты точек на плоскости. Если координаты принадлежат области вещественных чисел, то прямое произведение содержит бесконечное множество упорядоченных пар – координат всех точек плоскости. Если координаты определены на множестве целых чисел и рассматриваемая область плоскости ограничена, то прямое произведение будет содержать конечное множество упорядоченных пар.

Бинарным или двухместным отношением называется подмножество упорядоченных пар прямого произведения , т.е. .

Часто бинарные отношения используются для определения каких–то взаимосвязей, которыми характеризуются пары элементов в одном множестве . Так на множестве студентов группы могут быть заданы такие бинарные отношения как «жить в одной комнате общежития», «быть моложе», «быть земляком» и т.д. Тогда все пары элементов из , между которыми имеет место данное отношение , образуют подмножество пар из множества всех возможных пар элементов , называемое бинарным отношением R, т.е. . Наравне с обозначением в литературе используется обозначение

В общем случае могут рассматриваться n–местные отношения, например, отношения между тройками элементов (триарные) и т.д.

Пусть определено в соответствии с рисунком 1.5, из которого следует, что в отношении задействованы не все, а лишь некоторые элементы исходных множеств и . Тогда подмножество называется областью определения отношения , а подмножество – областью значений. Иначе можно записать , .

Рис. 1.5.