Под множеством интуитивно понимают совокупность определенных вполне различимых объектов, рассматриваемых как единое целое.

Отдельные объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества.

Из определения следует, что элементы должны быть:

- вполне различимыми;

- иметь общее свойство.

Будем обозначать множества большими буквами латинского алфавита, а элементы – малыми буквами с индексами или без.

Отношение принадлежности элемента множеству обозначается

Отношение непринадлежности элемента множеству обозначается

Множество называется подмножеством множества , если всякий элемент В принадлежит . Такое отношение обозначается . Если и , то . В этом случае говорят, что есть собственное подмножество .

Примеры.

– множество студентов группы 8А03. Иванов Î . Сидоров Ï .

– множество мужчин в группе 8А03, .

– множество студентов выше 174 см. в группе 8А83, .

Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным, в противном случае – бесконечным. Например, множество натуральных чисел , т.е. чисел 1,2,3, – бесконечно. Число элементов в конечном множестве называется его мощностью и обозначается .

Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается . Пустое множество Æ является подмножеством любого множества.

Если все рассматриваемые в ходе данного рассуждения множества являются подмножествами некоторого множества , то такое множество называется универсальным.

Пример.Установить истинность или ложность следующих выражений

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Ответ. Выражения 1,3,4,5 и истинны. Выражение 2 ложно.

Пример. Справедливо ли равенство{{1,2},{2,3}}={1,2,3}?

Ответ – нет, первое множество содержит два элемента являющихся подмножествами, второе три простых элемента.

Пример. Определить мощность множеств:

Основоположником теории множеств Г. Кантором были сформулированы несколько интуитивных принципов, играющих роль аксиом. Нас интересуют два таких принципа.

Принцип объемности.Множества и считаются равными , если они состоят из одних и тех же элементов.

Чтобы сформулировать второй принцип введем понятие «формы от ». Под формой от будем понимать конечную последовательность, состоящую из слов и символа , такую, что если каждое вхождение в эту последовательность заменить одним и тем же именем некоторого предмета, то в результате получится истинное или ложное предложение. Например, формами от х являются следующие предложения: « делится на 3», « », « – валюта США». А такое предложение как «существует такое , что >0», не является формой от .

Принцип абстракции.Любая форма определяет некоторое множество , а именно множество тех и только тех предметов а, для которых – истинное предложение.

Для множества , определяемого формой , принято обозначение или . Пример:

Поскольку позволяет определить, принадлежит некоторый элемент данному множеству или нет, она иногда называется распознающей процедурой.