Возведение матрицы в степень

Def. Целой положительной степенью Aⁿ (n>1) квадратной матрицы А называется произведение n матриц, равных А, т.е.

n раз

Примечание.Операция возведения в степень определена только для квадратных матриц.

1. Свойства операции возведения матрицы в степень:
1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

2.

Ex. Найти , если

Решение.

6. Элементарные преобразования строк матрицы.
Эквивалентные матрицы.

При обработке матриц широко используют элементарные преобразования строк матрицы, к которым относятся

- перестановка местами любых двух строк матрицы;

- умножение каждого элемента некоторой строки на число k¹ 0;

- прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на число k¹ 0 ;

- удаление из матрицы строки, состоящей их одних нулей.

Аналогично определяются и элементарные преобразования столбцов матрицы.

Def. Матрица , полученная из матрицы в результате элементарных преобразований, называется эквивалентной матрице . Эквивалентность матриц обозначается символом ~ «тильда»,т.е. ~ .

Справедлива теорема: всякую прямоугольную матрицу при помощи конечного числа элементарных преобразований можно преобразовать в эквивалентную ей треугольную матрицу, т.е.

( 7 )

Эта теорема широко используется при определении ранга матрицы и при решении систем линейных уравнений методом исключения переменных (алгоритм Гаусса).

Ex. Используя элементарные преобразования строк, привести матрицу к треугольному виду

меняем местами строки (П ) и (I)

умножим стр.(I) на 2 ,сложим с (П),итог
внесем в (П)

2 6 -4

-2 0 5

0 6 1

умножим стр.(I) на (-3 ) ,сложим с (Ш), итог
внесем в (Ш)

-3 -9 6

3 -1 7

0 -10 13

умножим стр.(П) на 5 ,умножим стр.(Ш) на 3,
сложим (П) с (Ш) ,итог- в (Ш)
0 30 5

0 -30 39

0 0 44