Матрицы. Действия над матрицами

Матрицей размерности называется прямоугольная таблица, состоящая из nстрок и m столбцов:

Если , то матрица называется квадратной порядка .

Элемент таблицы имеет два индекса, где i – номер строки, в которой находится элемент, j – номер столбца.

Диагональ, содержащая элементы , , …, , называется главной диагональю квадратной матрицы , а диагональ, содержащая элементы , , …, – побочной диагональю.

Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы, не принадлежащие главной диагонали, равны нулю.

Единичной называется диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице. Единичную матрицу обозначают буквой .

Треугольной называется квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Транспонированной кматрице называется матрица , полученная заменой каждой строки исходной матрицы столбцом с тем же номером.

Для матриц определены следующие операции:

1) сложение (вычитание)определено только для матриц одинаковых размерностей. Если , то каждый элемент матрицы вычисляется по формуле: .

2) умножение матрицы на число состоит в умножении каждого элемента матрицы на это число.

3) умножение матриц определено только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, т. е. , при этом элемент i-й строки k-го столбца матрицы C равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы k-го столбца матрицы B.

4) возведение матрицы в степень определено только для квадратной матрицы. Целой положительной степенью квадратной матрицы A называется произведение k матриц, каждая из которых равна A. Нулевой степенью квадратной матрицы называется единичная матрица того же порядка, что и A, т. е. .

Определитель есть число, которое ставится в соответствие квадратной матрице A порядка n и вычисляется по определенному правилу. Обозначения: detA, , ∆.

Определитель первого порядка:

Определитель второго порядка:

Определитель 3-го порядка вычисляется по правилу треугольников: