Транспонирование матрицы

Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.

Пример:
Транспонировать матрицу

Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:

– транспонированная матрица.

Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом или штрихом справа вверху.

,транспонированная матрица

Грубо говоря, транспонировать – это значит повернуть матрицу набок.

2) Сложение (вычитание) матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами.. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

c_ij = a_ij ± b_ij

Пример:
Сложить матрицы и

Пример: Найти разность матриц

и

Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера

Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!

Свойства: коммутативность, ассоциативность.

3) Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

a (А+В) =aА ± aВ

А(a±b) = aА ± bА

Рассмотрим примеры:

Пример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В.

2А = , 2А + В = .

4) Операция умножения матриц.

Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

A×B = C;

.

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Пример:
Можно ли умножить матрицу на матрицу ?

, значит, умножать данные матрицы можно.

А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

, следовательно, выполнить умножение невозможно, и вообще, такая запись не имеет смысла

Умножение матриц лучше объяснить на конкретных примерах, так как строгое определение сложно для применения.

Рассмотрим примеры:

1) Найти произведение матриц А= и В = .

АВ = × = .

ВА = × = 2×1 + 4×4 + 1×3 = 2 + 16 + 3 = 21.

2) Найти произведение матриц А= , В =

АВ = × = = .

3) Умножить матрицу на матрицу . Исходя из определения, будем делать это по следующей формуле:

– попытайтесь сразу уловить закономерность.

4) Умножить матрицу на матрицу

Формула:

В результате получена так называемая нулевая матрица.

Попробуйте самостоятельно выполнить умножение (правильный ответ

5) Умножение матриц третьего порядка

Умножить матрицу на матрицу

Формула очень похожа на предыдущие формулы:

6)Умножим матрицу на матрицу

Свойства операции умножения матриц.

1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА даже если определены оба произведения.

2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:

(АВ)С=А(ВС).

3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.

4) Если произведение АВ определено, то для любого числа a верно соотношение:

a(AB) = (aA)B = A(aB).

Определители.( детерминанты).

Определение. Определителемквадратной матрицы А= называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:

det A = , где (1)

М_1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.

Определитель единичной матрицы равен 1.

Обозначения: Если дана матрица , то ее определитель обозначают . Также очень часто определитель обозначают латинской буквой или греческой .

1)Что значит решить (найти, раскрыть) определитель? Вычислить определитель – это значит НАЙТИ ЧИСЛО.

2) КАК найти это число? Для этого нужно применить определенные правила, формулы и алгоритмы.

А) нахождение определителя второго порядка

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ

Рассмотрим пример: