Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Определители второго порядка можно применять для нахождения решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

.

С помощью определителей можно также производить исследование решений. Пара чисел называется решением системы уравнений, если подстановка их вместо и в систему обращает оба уравнения в равенства.

Умножим первое уравнение системы на , а второе – на , затем складываем получившиеся равенства, в итоге будем иметь

.

Аналогично, умножая первое уравнение системы на , а второе на и складывая, получим

.

Введём в рассмотрение следующие обозначения:

.

С помощью этих обозначений и выражения для вычисления определителя оба полученных уравнения можно переписать в виде

. (2)

Определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных в исходной системе уравнений, называется главным определителем этой системы или просто определителем системы. Определители и называют вспомогательными определителями, Можно заметить, что определители и получаются из определителя путём замены первого, или соответственно второго столбца свободными членами.

Нахождение неизвестных и теперь можно произвести по уравнениям (2). Здесь возможны два случая:

1) определитель системы отличен от нуля,

2) этот определитель равен нулю.

В первом случае из уравнений (2) можно сразу получить формулы для неизвестных, называемые формулами Крамера:

и .

Полученные формулы Крамера дают решение исходной системы и поэтому доказывают существование и единственность её решения.

Рассмотрим второй случай, когда определитель системы равен нулю. Здесь могут представиться тоже два случая:

2.1) хотя бы один из определителей или отличен от нуля,

2.2) оба определителя равны нулю.

В первом подслучае оказывается невозможным хотя бы одно из равенств (2), а потому не будет иметь решений и исходная система, следствием которой является система (2).

Во втором подслучае система будет иметь бесконечно много решений. Из того факта, что все определители системы равны нулю, вытекает

.

А это будет означать, что каждое из уравнений системы может быть получено из другого умножением на некоторое число. В этом случае одно из уравнений может быть отброшено. Но одно уравнение с двумя неизвестными имеет бесконечное множество решений.

Таким образом, мы приходим к следующему заключению:

Если главный определитель системы равен нулю, то система либо вовсе не имеет решений (при равенстве нулю не более, чем одного вспомогательного определителя), либо имеет бесконечное множество решений (при равенстве нулю сразу обоих вспомогательных определителей). В последнем случае оба уравнения системы заменяются одним и, при его решении, одно неизвестное задаётся произвольно.