Цель– научиться использовать численные методы нахождения приближенного значения определенного интеграла функции y=f(x) в среде Mathcad.
Постановка задачи
1. С помощью среды программирования Mathcad найти приближенное значение определенного интеграла функции f(x) на интервале [a, b] при заданном числе промежутков интегрирования n (n=12 для всех вариантов).
2. Приближенное значение интеграла определить с помощью методов левых и правых прямоугольников, трапеций и Симпсона (парабол).
3. Для методов трапеций и Симпсона оценить погрешность вычисления приближенного интеграла.
Теоретические сведения
Пакет MathCAD является полноценным Windows-приложением, поэтому освоение основных возможностей пакета для человека, работающего в Windows, не представляет труда. В результате работы в среде пакета пользователь средствами текстового, формульного и графического редакторов создает документ (тексты, формулы, таблицы и графики), который затем будет записан на диск в виде файла с расширением .mcd.
Сразу после запуска пакет MathCAD готов к созданию документа с необходимыми вычислениями. Для работы в окне редактора нужно в свободном месте щелкнуть левой кнопкой мыши. Появится визир (особый вид курсора) в виде маленького красного крестика. Его можно перемещать клавишами управления курсора. Визир не нужно путать с курсором мыши, который обычно имеет вид наклонной стрелки. Визир указывает место, с которого можно начинать набор. Щелчок левой клавишей мыши устанавливает визир на место, указанное курсором. В зависимости от места расположения визир может менять свою форму.
Для задания математических символов, операторов и их шаблонов используется специальная панель – Math ToolBar, –которая активизируется спомощью опции Math позицииViewглавного меню. В свою очередь панель инструментов Math состоит из кнопок, при щелчке на которые вызываются удобные, перемещаемые с помощью мыши, наборные панели (Palletes — палитры).
Назначения кнопок панели Math приведены в табл. 1.
Матричные и векторные операторы
(Vector and Matrix toolbar)
Операторы вычислений
(Evalution toolbar)
Операторы математического анализа (ряды, произведения; пределы, интегралы, производные)
(Calculus toolbar)
Операторы равенств и отношений
(Boolean toolbar)
Операторы программирования
(Programming toolbar)
Греческие буквы
(Greek Symbol)
Операторы символьной математики (ключевые слова)
(Symbolic Keyboard)
Каждая панель содержит группу логически объединенных шаблонов операторов. Все виды наборных панелей представлены в поле редактора на рис. 1. С их помощью можно вводить в документы практически все известные математические символы и операторы. Панели можно располагать в удобном месте окна редактирования и пользоваться сразу несколькими. Для установки с их помощью необходимого шаблона (объекта) достаточно поместить визир в желаемое место окна редактирования и затем активизировать пиктограмму нужного шаблона. Применение палитр для вывода шаблонов математических знаков очень удобно, поскольку не нужно запоминать, как это было в более ранних версиях, разнообразные сочетания клавиш, используемых для ввода специальных математических символов.
Рис. 1
Пример простейших вычислений
Хотя пакет MathCAD предназначен для решения сложных задач, его можно использовать как простой калькулятор. Пример подобного использования пакета расписан по шагам:
1) щелкнув мышью в любом месте документа, получаем небольшой крестик – визир, с места расположения которого и начнется ввод;
2) напечатаем (12+sin(45/46))/(10^3+7*2)=, после ввода знака равенства MathCAD вычислит выражение и напечатает результат.
Символ «крышка» (^) означает возведение в степень, звездочка (*) – умножение, косая черта (/) – деление, функцию синуса можно набрать самостоятельно, а можно воспользоваться наборной панелью. Этот пример в том виде, в котором он отобразится в среде MathCAD, показан на рис. 2, где также представлены и два других примера вычислений.
Рис 2
Из рисунка видно, что пакет отображает формулы в таком виде, как их принято писать в книгах. MathCAD сам подбирает размеры для скобок, черты дроби и других математических символов так, чтобы соблюсти общепринятое написание. После ввода оператора, например знака «+», MathCAD показывает курсор в виде черного прямоугольника (g), имеющего название placeholder(символ-заполнитель, или поле ввода) и предназначенного для ввода требуемых данных. Если хотя бы один из прямоугольников не будет заполнен, то при попытке вычисления появится сообщение о некорректности ввода –Missing operand (отсутствующий операнд).
Поле ввода, которое появится в конце выражения, используется для преобразования единиц измерения. Такое поле ввода можно увидеть на рис. 3 во втором примере.
Для изменения формата начертания введенного выражения можно выделить любой его элемент и внести необходимые изменения, используя панель форматирования.
Допустим, теперь необходимо вычислить определенный интеграл (см. рис. 3). Важным понятием пакета MathCAD является понятие шаблона. Шаблоны используются для задания математических операторов в формулах. С помощью шаблона пользователь может следить за корректностью вводимых выражений и значительно облегчает набор формул.
– шаблон определенного интеграла.
Для вывода этого шаблона вначале нужно вывести панель операторов математического анализа (ее пиктограмма в строке инструментов имеет знаки интеграла и производной). Затем следует установить визир в то место экрана, куда будет выводится шаблон, и на панели сделать активной пиктограмму с изображением знака определенного интеграла.
В составе сложных шаблонов может быть несколько позиций для ввода отдельных данных. Они имеют вид, как уже было сказано, небольших черных квадратиков. В шаблоне интеграла их четыре: для ввода верхнего и нижнего пределов интегрирования, для задания подынтегральной функции и для указания имени переменной, по которой идет интегрирование.
Пример использования шаблонов и вычисление с их помощью интеграла, в том числе и кратного (п. 1), суммы (п. 2), произведения (п. 3), производной (п. 4) и предела (п. 5) некоторой функции представлен на рис. 3. Для вычисления производной в точке переменной x присваивается (знак :=) значение 2,а затем вычисляется третья производная. MathCAD читает и выполняет введенные выражения слева направо и сверху вниз, поэтому необходимо следить, чтобы выражение для вычисления распологалось правее и ниже определенных для него значений. За этим нетрудно следить, так как при вводе любого выражения оно выделяется ограниченным прямоугольником – область ввода (см. рис. 3, п. 5). Ухватившись за границу области ввода, курсор превращается в черную ладошку, при этом можно перетаскивать содержимое области в любое место документа. Важно следить, чтобы при составлении документа области не перекрывались, т.к. иногда это приводит к ошибке.
Рис. 3
Обратите внимание на еще один характерный пример (п. 5) — вычисление предела функции sin(x)/x при х, стремящемся к нулю. Если просто вычислить предел с применением оператора «=», то возникает ошибка. На цветном дисплее соответствующий формульный блок выделяется красным цветом символов — так MathCAD сообщает об ошибке. Однако если использовать специальный оператор вывода результатов в символьной форме в виде стрелки → (в палитре символьных операций), то данная операция будет выполнена. Надо отметить, что в сообщении об ошибке именно это и рекомендуется сделать.
С помощью меню Formatи команды Result можно изменить формат вывода результатов, если пользователя не устраивает точность вывода результата (по умолчанию три знака после запятой). Напомним, что в пакете все вычисления проводятся с точностью 15 знаков после запятой.
Вычисления обычно принято сопровождать комментариями и примечаниями. Работать с текстом в MathCAD так же легко, как и с числовыми выражениями. Для того чтобы ввести текст, нужно щелкнуть кнопкой мыши в свободном месте и выполнить пункт Text Region… (Создать текстовую область) из менюInsert … (Вставить),или нажать клавишу с двойной кавычкой ("), или нажать на кнопку текста на панели инструментов. Комментарии имеют, как правило, шрифт, отличный от шрифта переменных и констант. Маркер ввода текста окружен рамкой, которая называется текстовой рамкой и обозначает текстовую область, по мере ввода текста она будет расширяться. Возможна установка ширины текстовой области и изменение гарнитуры, размеров и начертания шрифтов текста. Для этого достаточно выделить надпись и сменить шрифт или его параметры помощью меню Format… или вызвать контекстно-зависимое меню правой кнопкой мыши.
Для выполнения лабораторной работы необходимо задание ранжированных переменных. Ранжированные переменные – это переменные, значения которых могут изменяться от нижнего предела до верхнего с некоторым шагом. Эти переменные имеют множественные значения. Ввод ранжированной переменной:
ИМЯ := АВ1 [,АВ2] .. АВ3,
- АВ – арифметическое выражение или число;
- АВ1 – нижний предел;
- [,АВ2]– квадратные скобки обозначают, что их содержимое может отсутствовать;
- с помощью АВ2-АВ1 определится модуль шага;
- для получения '..' необходимо нажать клавишу <;> или использовать наборную панель инструментов;
- АВ3 – верхний предел.
Шаг h = (АВ2-АВ1) * sign (АВ3-АВ1).
Если АВ2 отсутствует, то шаг 1 или -1.
Если мы хотим создать ранжированную переменную с именем J, имеющую значения от 1 до 5, с шагом 1, то придется набрать:
J: 1 ; 5
На экране дисплея в текущем окне появится:
J:= 1 . . 5
Этот прием определяет следующие значения скалярной переменной J: 1, 2, 3, 4, 5. Доступ отдельно к каждому значению отсутствует.
Для построения графика в декартовой системе координат есть два способа. Первый – наиболее простой способ. По нему достаточно ввести выражение, описывающее некоторую функцию f(x), а затем вывести шаблон X-Y Plot с помощью меню или ввода символа @. Появится шаблон графика с заданной функцией. Незаполненный шаблон в декартовой системе координат представляет собой большой пустой прямоугольник с местами ввода данных в виде темных маленьких прямоугольников, расположенных около осей абсцисс и ординат будущего графика. В средние шаблоны данных нужно поместить имя переменной (х у оси абсцисс) и имена функций (у у оси ординат).
Теперь остается ввести имя переменной х по оси Х, f(x)по оси ординат и вывести курсор мышки из области графика — он будет построен. Такой вариант построения отображен на рис. 4.
Рис. 4
Для второго способа нужно вначале задать ранжированную переменную (например х), указав диапазон ее изменения и шаг. Шаг указывается заданием начального значения переменной х0, а затем через запятую значения x0 + d (если шаг равен 1, его можно опустить). После этого через две точки указывается конечное значение х (рис. 5). Затем надо задать соответствующие функции и вывести шаблон двумерного графика.
Если строятся графики нескольких функций в одном шаблоне, то для их разделения следует использовать запятые. Крайние шаблоны данных служат для указания предельных значений абсцисс и ординат, т. е. они задают масштабы графика. Если оставить эти шаблоны незаполненными, то масштабы по осям графика будут устанавливаться автоматически.
Рис. 5
Обратите внимание, что когда график находится в рамке, в поле графика в углах появляются числа, указывающие масштаб графика по оси Y и по оси X.
Если что-либо в построенном графике не вполне удовлетворяет пользователя, можно применить операции изменения формата графиков. Эти операции позволяют изменять заданныепо умолчанию параметры графиков. Заметим, что окно задания форматов графиков появляется, если выделить график и, установив в его области курсор мыши, дважды быстро щелкнуть ее левой клавишей.
Можно переформатировать оси, используя закладку X – Y – Axes (оси X – Y). Здесь находится полный набор установок для каждой оси:
· Log Scale– выбранная ось имеет логарифмический масштаб, следовательно, границы по оси должны быть положительными числами;
· Grid Lines– деления на оси заменяются линиями сетки, внизу в окошке (Number of Grids) необходимо указать количество линий сетки;
· Numbered– на выбранной оси у делений проставляются числовые значения;
· Autoscale– автоматически устанавливаются границы на осях координат, если они не были определены вручную;
· Show Markers– установка делений по осям;
· Auto Grid– автоматически выбирается число интервалов сетки.
Переключатели Axes Style позволяют задать стиль отображения координатных осей:
· Boxed– оси в виде прямоугольника;
· Crossed– пересечение осей;
· None– отсутствие осей.
Флажок Equal Scales позволяет задать равные установки для обеих осей.
Следующая закладка Traces(Линии) служит для управления стилем линий графика:
· Legend label– указание типа линии у оси координат;
· Symbol– выбор типа символа для базовых точек графика (крестик, прямоугольник и др.);
· Line– выбор типа линии графика (сплошная, пунктирная и др.);
· Color– выбор цвета линий и базовых точек графика;
· Type– установка типа графика (линейчатый, точечный, гистограмма и др.);
· Weight– выбор толщины линии.
Два флажка в нижней части окна позволяют удалить с поля графика вспомогательные надписи:
· Hide Argument– удаляет математические выражения на осях графика;
· Hide Legend– скрывает имена кривых графика.
Закладка Label(Надпись) служит для ввода поясняющих надписей в следующие поля:
· Title– титульная надпись, которая в зависимости от установки Above(сверху), Below(снизу), Show(показать) может быть размещена соответственно над или под рисунком и может быть либо отображена, либо скрыта;
· X-Axis– надпись по оси X;
· Y-Axis– надпись по оси Y.
Для задания параметров по умолчанию служит закладка Defaults(Установки):
· Change to Defaults– позволяет вернуться к параметрам, заданным по умолчанию;
· Use for Defaults – позволяет сделать параметры, указанные на предыдущих вкладках, параметрами по умолчанию.
В целом перечисленные параметры предоставляют возможность пользователю создавать графики самых различных видов, а разнообразные способы представления помогают различать кривые на графике, повышают их информативность.
, если a=0, b=1.8, n=12 f(x)= 
