Тема 1.4. Основи теорії нечітких множин.

Нечіткі множини широко використовуються в різних застосуваннях у теорії штучного інтелекту, прийняття рішень, маркетингових дослідженнях, тощо. Замінюючи звичайну множину нечіткою можна кожному об’єкту в математиці поставити у відповідність його нечіткий аналог.

Нехай множина Х= {х} - сукупність об'єктів (крапок), що позначається через х. Тоді нечітка множина А в X є сукупність упорядкованих пар ; де , а являє собою ступінь приналежності х до А, тобто : Х→М - функція, що відображає X у простір М, що має назву простір приналежності. Коли М містить тільки двох точок 0 і 1, тоді множина А є не розпливчастим, його функція приналежності збігається з характеристичною функцією не розпливчастої множини (звичайно чіткої множини).

У подальшому будемо вважати, що М є відрізок [0, 1], причому 0 і 1 є відповідно нижчу і вищу ступені приналежності. Основне припущення полягає в тому, що розпливчаста множина А, не дивлячись на чіткість його границь, може бути точно визначене шляхом зіставлення кожному об'єкту х числа, що лежить між 0 і 1, що становить ступінь його приналежності до А., тобто 0< <1.

Тоді формально нечітку множину можна представити у наступному вигляді:

Нехай {0, 1, 2,... } - сукупність невід'ємних цілих чисел. У цьому просторі розпливчаста множина А «кілька об'єктів» може бути визначене як набір упорядкованих пар А={(3; 0.6), (4; 0.8), (5;1.0), (6;1.0), (7;0.8)}, причому вважається, що перераховуються тільки ті пари , для яких додатне.

Теорія нечітких множин також, як і у теорії чітких множин широко використовується поняття універсальної множини, що розглядається як об'єднання деякої кількості множин _, j=1,n

Крім того, визначається пуста множина – це множина, всі елементи якої мають коефіцієнт приналежності, що дорівнює 0

Наприклад: Нехай А визначено як множина «молода людина». З практики відомо, що до множини “молода людина” звичайно, відносять людей у віці від 15 до 45 років. Тоді враховуючи, що нечітка множина складається з елементів що є віком людини, а коефіцієнти приналежності відображають ймовірність, із якою цей вік можна віднести до віку молодої людини. У множині будуть тільки ті елементи, у яких коефіцієнти приналежності не дорівнюють 0. Оскільки до людини, що молодше 13 років та старша за 45 років не застосовують назву молодої людини, то і коефіцієнти приналежності для такого віку = 0.

Для інших віків коефіцієнти приналежності можуть бути такими:

Тоді нечітка множина буде виглядати наступним чином

Найбільшу складність проблем у теорії нечітких множин є проблема визначення . Рішенню цієї задачі сприяє застосування статистичних експертних методів, методів прийняття рішень.

Операції з нечіткими множинами:

1. Доповнення множини А визначається як:

Формується нова нечітка множина з універсальної множині, що включає в себе елементи x_i з U, у яких коефіцієнти приналежності до множини А були менше за 1.

2. Об'єднання множин А і В визначається як:

Коефіцієнт приналежності для елемента x_i нової множині визначається як максимальне значення між коефіцієнтом приналежності для такого елемента у множинах А та В

В результаті одержимо нову множину яка складається з усіх елементів, що входять до А та /або до множини В, коефіцієнт приналежності для множини x_i яких найбільший.

3. Перетинання множин А і В визначається як:

Нова множина, складається з елементів, що належить множинам А й В одночасно, коефіцієнт приналежності у яких для кожного елемента є мінімальним серед коефіцієнтів приналежності у А та у В

4. Згущення

Це операція над множинами, що зменшує ступінь нечіткості множині (в ідеалі до чіткої множини). Позначається int (А ). Така операція дозволяє зменшити ступінь нечіткості множини, що дає змогу полегшити операції над елементами множини.

Зменшення нечіткості множини відбувається наступним чином:

якщо тоді зменшується (в ідеалі до 0);

якщо тоді збільшується (в ідеалі до 1).

Тема 2 Математична логіка

Тема 2.1 Логіка висловлювань

Математична логіка розглядає мови формалізмів, що забезпечують символізм запису міркувань, що зустрічаються в повсякденному житті. Найбільше часто розглядаються 2 типи логіки: логіка висловлювань і логіка предикатів. Надалі будемо розглядати логіку висловлювань

Основними об'єктами традиційних розділів логіки є висловлення.

Висловлення - оповідальна речення (твердження, судження), про яке можна говорити, що воночи істинне або неправдиве. Усі наукові знання (закони і явища фізики, хімії, біології й ін., математичні теореми і т.п.), події повсякденного життя, ситуації, що виникають в економіці і процесах управління, формулюються у виді висловлень. Наказові, питальні і безглузді пропозиції не є висловленнями.

Приклади висловлень: "Двічі два-чотири", "Реєстрація фірми вимагає наявності її статуту", "Ми живемо в XXI столітті", "Гривня - українська валюта", "Операції об'єднання, перетинання і доповнення є булевими операціями над множинами", "Людина смертна", "Від перестановки місць доданків сума не змінюється", "Сьогодні понеділок", "Якщо йде дощ, вам належить узяти парасольку".

Для того щоб далі оперувати цими пропозиціями як висловленнями, ми зобов'язані знати щодо кожного з них, істинне воно чи хибне, тобто знати їхнє істинне значення (істинність). Помітимо, що в ряді випадків істинність чи хибність висловлення залежить від того, яку конкретну реальність (систему, процес, явище) ми намагаємося з його допомогою описати. У такому випадку говорять, що дане висловлення істинне у даній інтерпретації (контексті). Далі припускаємо, що контекст заданий і висловлювання має визначене істинне значення. Можна чітко визначити істинність чи хибність. Викладач говорить правду – це не висловлювання, а парадоксальна фраза.

Істинність позначається 1, i, true.

Хибність позначається 0, х, False.

Будемо називати висловлення простим (елементарним), якщо воно розглядається нами як деяке неподільне ціле (аналогічно елементу множини). Звичайно, до них відносять висловлення, що не містять логічних зв'язок. Складним (складеним) називається висловлення, складене з простих за допомогою логічних зв'язок.

Для позначення висловлювань застосовуються великі латинські букви. Наприклад,

Р сніг білий;

Q температура близька к нулю.

Символи Р та Q називаються також атомарними формулами або атомами.

У природній мові (при вербальному описі явища) роль зв'язувань при складанні складних речень із простих грають наступні граматичні засоби: союзи “і”, “чи”, “не”; слова “якщо ..., то”, “або ... або” (у розділовому змісті), “тоді і тільки тоді, коли” і ін. У логіці висловлень логічні зв'язки, використовувані для складання складних висловлень, зобов'язані бути визначеними точно.

Основні логічні зв'язки (операції) логіки висловлень є наступні:

Кон’юнкцією (операцією “І”, логічним добутком) двох висловлень Р та Q називається висловлення, щире, коли обоє висловлення істинні, і помилкове - у всіх інших випадках. Позначення: Р & Q; ; P*Q (читається: “P та Q”).

Диз'юнкцією (операцією“ЧИ”, логічною сумою) двох висловлень Р та Q на-зивається висловлення, помилкове у випадку, коли обоє висловлення помилкові, і істинне - у всіх інших випадках. Позначення: , Р + Q (читається: “Р чи Q”).

Запереченням (інверсією) висловлення Р називається висловлення, істинне, коли висловлення Р помилкове, і помилкове - у противному випадку. Позначення: , (читається: “не р”, “невірно, що Р”).

Імплікацією (логічним походженням) двох висловлень Р та Q називається висловлення, помилкове, коли Р істинно, a Q хибне; у всіх інших випадках - істинне. Позначення: , (читається: “якщо Р, то Q”, “з Р слідує Q”, “з Р випливає Q”). При цьому висловлення Р називається посилкою імплікації, а висловлення Q — висновком

Еквівалентністю (рівнозначністю) двох висловлень P та Q називається висловлення, істинне, коли істинні значення Р та Q збігаються, і помилкове - у противному випадку. Позначення: Р~ Q, P≡ Q, P↔Q (читається: “Р еквівалентно Q”, “Р, якщо і тільки якщо Q”, “Р рівнозначно Q”).

Нерівнозначністю {виключним “АБО”, додаванням по модулю 2) двох висловлень Р та Q називається висловлення, істинне, коли істинні значення Р та Q не збігаються, і помилкове - у противному випадку. Позначення: і ін. (читається: “або Р, або Q”, “чи Р, чи Q”; розуміється - у розділовому змісті).

Букви, що позначають висловлення, логічні зв'язування і дужки, складають алфавіт мови логіки висловлень: алгебри логіки і числення висловлень. За допомогою елементів алфавіту можна побудувати різноманітні логічні формули.

Наприклад, за умов високої температури та високої вологості повітря в нас не гарне самопочуття.

А висока температура повітря;

R висока вологість повітря;

Q у нас гарне самопочуття.

Дамо більш точне визначення логічної формули, як це прийнято в математичній логіці. Будемо називати логічною формулою вираз, складений з висловлювань і зв'язок (і, зрозуміло, дужок). . У логіці висловлювань правильно побудована формула визначається рекурсивно:

– атом є формулою;

– якщо Р – формула, тоді і також формула;

– якщо P та Q - формули, то , , , , також формули;

– інших формул немає.

Ніяких інших формул, крім тих, що отримані за цими правилами немає. Не може бути формули типу .

Ранг операцій встановлено такий: заперечення ( ); кон’юнкція ( ); диз'юнкція ( ); імплікація ( ); еквівалентність (↔); нерівнозначність ( ). Крім того, для встановлення порядку операцій використовуються дужки. Вважається, що зв'язки з великим рангом має велику область дії. Деякі дужки можна опустити, якщо це не призведе до невизначеності, використовуючи ранг операцій.

Значення формули, що утворена за допомогою перерахованих раніше операцій указана в таблиці

P	Q

Це таблиця істинності формул і завдяки їй можна скласти й визначити істинність чи хибність деякого висловлювання.

Розпорядження істинних значень атомів, що входять у формулу, називається інтерпретацією цієї формули. Якщо у формулі n- атомів, то вона має 2ⁿ інтерпретацій.

Формула називається помилковою при деякій інтерпретації, якщо її значення хибне (=0) та істинною, якщо її значення істина (=1). Формули, що є істинними в будь-якій інтерпретації називають загальнозначущими. Формула, що є помилковою в будь-який інтерпретації називається суперечливою.

Наприклад, формула - загальнозначуща, це можливо довести за допомогою перебору усіх можливих інтерпретацій цієї формули.

P	Q			(( ) )

формула - суперечлива, що доводиться за допомогою перебору усіх можливих інтерпретацій цієї формули.

P	Q

Формула не загальнозначуща, якщо вона помилкова хоча б в одній інтерпретації. Формула здійсненна (не суперечлива), якщо мається хоча б одна інтерпретація, при якій формула істина.

Якщо формула G істинна при деякій інтерпретації (J), то говорять, що G здійсненне в інтерпретації J або задовольняє G. У цьому випадку інтерпретація J називається моделлю G. Якщо формула G помилкова при деякій інтерпретації J, то говорять, що J спростовує G.

Наприклад, формула . Для неї моделлю є інтерпретація (1;0), а інтерпретація (0;0) спростовує

В логіці висловлювань для будь-якої формули можна установити загальнозначущість або суперечливість формули за допомогою процедури Поста. Суть її полягає в послідовному переборі усіх інтерпретацій формули. Слід зауважити, що у формули, в якої n атомів 2ⁿ інтерпретацій.