Функция root осуществляет решение алгебраических и трансцендентных уравнений, определяя вещественные корни уравнений. MathCAD в функции root использует для поиска корня метод секущих.
Она имеет вид:
root(f(x),x), где:
· f(x) – решаемое уравнений f(x);
· x – аргумент функции f(x) (искомое неизвестное уравнения).
При использовании функции rootзадаётся начальное приближение корня x0.
Функция root представляется в одной из следующих форм:
1-ый вариант 2-ой вариант 3-ий вариант
x:=x0
x:=x0
x:=x0
Root (f(x),x)=
z=root (f(x),x)
j(x):=f(x)
z=
z:=root(j(x),x)
z=
Если после многих итераций MathCAD не может найти решение, то появляется сообщение: «отсутствует сходимость». Эта ошибка может быть вызвана следующими причинами:
уравнение не имеет корней;
корни уравнения расположены далеко от начального приближения;
функция f(x) имеет локальные экстремумы между начальным приближением и корнем;
функция f(x) имеет разрывы между начальным приближением и корнем;
функция f(x) имеет комплексный корень, но начальное приближение было вещественным.
Чтобы установить причину ошибки рекомендуется построить график функции f(x). Он поможет выяснить наличие корней уравнения, определить начальные приближения.
Пример 4.1. Решить уравнение: 3X- 1.6*eX+ 4=0.
Технология выполнения задания.
Определим количество корней уравнения и их интервалы изоляции. Для этого:
задаём ранжированную переменную x=0.1,0.5..5 (примерный диапазон изменения) и заданное уравнение без правой его части (=0).
Набираем x= (на экране появляется диапазон изменения x;)
Набираем f(x)= (на экране появляется диапазон изменения заданного уравнения).
В системе MathCAD выполнить команды View®Toolbars ® Graph. На появившейся панели Graph щёлкнуть по кнопке XY – Plot.
Построить график заданного уравнения (см. рис. ).
Определить по графику интервалы изоляции корней.
Построение графика заданного уравнения представлено на рис.4.1.
Рис. 4.1. График уравнения 3Х – 1,6eX+4
По графику интервалы изоляции корней x1 и x2 соответственно равны: 2.5<x1<2.9 и 4<x2<4.5.
Решение уравнения приведено на рис.4.2.
x:=2.5
root(3Х– 1.6exp(x)+4,x)=2.541
x:=4.5
root(3Х– 1.6exp(x)+4,x)=4.473
Рис. 4.2. Решение уравнения 3Х – 1,6*eX+4
Проверить правильность определения корней, подставив полученные решения в исходное уравнение.
Решение уравнений с помощью функции
ФункцияFindпредназначенадля решениясистемуравнений методом итераций. Как частный случай, функция может определять корни одного уравнения.
Решение уравнения выполняется в следующей последовательности:
задать начальное приближение корня х0 из области его изоляции;
написать слово Given, указывающее на то, что далее следует заданное уравнение;
написать заданное уравнение. Следует иметь в виду, что при вводе в уравнение знака равенства необходимо нажать клавиши <Ctrl>+<=>;
Технология решения уравнения 3Х - 1,6еХ+4 приведена на рис. 4.3.
X:=2.5
Given
3Х– 1.6exp(x)+4,x=0
Find(x)=2.541
X:=4.5
Given
3Х– 1.6exp(x)+4,x=0
Find(x)=4.472
Рис. 4.3. Решение уравнения 3Х – 1,6eX+4
Определение корней многочлена с помощью функции polyroots
Корни многочлена обычно определяются с помощью функции polyroots, которая имеет вид:
polyroots (V),
где V – вектор коэффициентов многочлена, начиная с младшей степени.
Функция находит все вещественные и комплексные корни.
Технология решения задачи состоит в следующем:
ввести символ присвоения имени вектора-столбца, например V:=;
нажать комбинацию клавиш Ctrl+M. На экране появляется окно InsertMatrix.В полях Rows и Columns устанавливается число строк и число столбцов матрицы. Для случая определения корней полинома число столбцов равно 1, а число строк – (n+1), где n степень многочлена. После щелчка по кнопке ОК в окне, на экране появляется пустой шаблон вектора- столбца размером (n+1) ×1;
заполнить маркеры ввода вектора коэффициентами заданного полинома, в первой строке пишется коэффициент свободного члена (коэффициент при нулевой степени полинома);
написать polyroots (V);
нажать клавишу = (равно) на клавиатуре. На экране появится ответ в виде вектора корней.
Пример 4.2.Решить уравнениеx4+3x3-7x+3.5=0
Технология выполнения задания приведена на рис. 4.4.
Рис. 4.4. Решение уравненияx4+3x3-7x+3.5=0.
Возьмите из Задания 4.1 и Задания 4.2 свой вариант уравнения и найдите его корни используя функцию root и функцию polyroots. Убедитесь, что найденные значения действительно являются корнями Вашего уравнения.
Задание 4.1. Найти все корни заданного уравнения, используя функцию root
№п.п.
Уравнение f(x)
№ п.п.
Уравнение f(x)
4sin x + x2 - 2=0
(x - 1)2 - 0.5exp( - x) – 2=0
3X-4.5x-5.6=0
2/x+x2 + ex – 8=0
3 sinÖx +0.35x-8x=0
tgx + x + 2=0
0.25x2+x-1.25002=0
ctgx – 2x + 2=0
0.1x2-xlnx=0
-x2 + cos (x+1) + 3=0
3x - 4lnx-5=0
2ln(2–x)–x + ex – 10=0
ex - e –x -2=0
1/x + ln(2x + 4) – 3=0
ex + lnx – 10x=0
x× cos x + 1.5=0
sin x2+cos x2-10x=0
2x5 – lnx – 7x2=0
x2-ln(1+x)-3=0
x×sinx x + 1.5=0
2xsin x – cosx=0
x2x – 4x2 + 1.5=0
lnx – x + 1.8=0
2.5x – 8.6x – 3.5=0
0.6 ×3x – 2.3x – 3=0
ln(x + 2) + 2x2 - 9x + 2=0
2x – 4x=0
xln(2.5x) – 1.5x + 1.5=0
3x – ex + 4=0
xtgx – 1/3=0
Задание 4.2. Найти все корни заданного уравнения, используя функцию polyroots
Для полинома g(x) выполнить следующие действия:
1. с помощью команды Symbolics ® Polynomial Coefficients (Коэффициенты полинома)создать вектор V, содержащий коэффициенты полинома;
2. решить уравнение g(x) = 0 с помощью функции polyroots;
3. решить уравнение символьно, используя команду Symbolics ® Variable ®Solve
