Вычисление и свойства определителей

С помощью определителей второго порядка легко доказать, путем прямых вычислений свойства определителей:

1. Определитель не меняется при транспонировании матрицы.

Это означает, что все свойства определителя, которые имеют место по отношению

к строкам матрицы, будут справедливы и по отношению к столбцам. Поэтому в

дальнейшем мы будем указывать только свойства, касающиеся строк.

Строки матрицы линейно зависимы, если одну из них можно представить в виде

линейной комбинации остальных.

2. Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда строки матрицы образуют

линейно зависимую систему.

3. Определитель меняет знак, если любые две различные строки матрицы поменять

местами.

Все остальные свойства являются следствием этих трех свойств.

4. Определитель с двумя одинаковыми строками равен 0

4. Если все элементы какой- либо строки раны 0, то и сам определитель равен 0.

6. Если какую-либо строку матрицы умножить на число а, то и определитель

умножится на число а.

7. Если все элементы матрицы порядка п умножить на число а, то определитель

умножится на .

8. Определитель не меняется, если к какой-нибудь строке матрицы прибавить

любую линейную комбинацию остальных строк.

9. Если все элементы i-й строки представлены в виде суммы , то

определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-й,

такие же, как в исходном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит

из элементов , в другом — из элементов .

10. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их

определителей: С=А В det C = detA det B.

Самостоятельная работа: доказать свойства определителей согласно /1,с.77/

Эти свойства применимы и к определителям n-го порядка.

Рассмотрим правило вычисления определителям n-го порядка

Введем понятия минора и алгебраического дополнения элемента .

Минором любого элемента матрицы n-го порядка называется определитель n-1 порядка, соответствующий этой матрице и получаемый вычеркиванием i-ой строки и j -го столбца и обозначается

Алгебраическим дополнением любого элемента матрицы n-го порядка называется минор этого элемента , умножаемый на и обозначаемый :

Теорема 4.2. Если все элементы k-го столбца (строки) определителя D , кроме, быть может, одного , равны нулю, то определитель D равен произведению на алгебраическое дополнение этого элемента: D= .

□ Частный случай. В определителе D все элементы первого столбца, кроме , равны нулю. В каждый член определителя D входят по одному элементу первого столбца. Сохранятся только те члены, в которые входит , который как общий множитель можно вынести за знак суммы

Так, как единица, стоящая на первом месте, не образует ни одной инверсии, то , тогда

поскольку сумма равна определителю (n - 1)-го порядка, получающемуся из D вычеркиванием первой строки и первого столбца, то есть .

Общий случай. Все элементы k-гостолбца определителя D, кроме a_ik, равны нулю и определитель имеет вид

Переместим i-тую строку определителя D на первое место, последовательно меняя ее местами с (i - 1)-ой, (i - 2) - ой, и т д., наконец, с первой строкой. На это потребуется (i – 1) транспозиций строк, при каждой из которых определитель умножается на -1. Затем переместим k-йстолбец определителя D на первое место, последовательно меняя его местами с (k - 1)-м, (k — 2)-м, и т. д., наконец, с первым столбцом. Для этого потребуется (k – 1) транспозиций столбцов, при каждой из которых определитель тоже умножается на - 1. В итоге получим определитель

отличающийся от определителя D только знаком . Но, как показано, определитель равен произведению на определитель (n - 1)-го порядка, получающийся из вычеркиванием первого столбца и первой строки, или, что то же самое, получающийся из D вычеркиванием k - гостолбца и i - й строки, т. е.

.■

Доказанная теорема дает возможность, используя еще следствие из свойства 4, вычислить определитель какого угодно порядка.

Теорема 4.3. Каждый определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

, разложение по j-му столбцу,

, разложение по i-ой строке.

□ Если два определителя отличаются друг от друга только элементами одного столбца (строки), то алгебраические дополнения элементов этих столбцов (строк) в обоих определителях одинаковы, так как при вычислении этих дополнений столбцы (строки), которыми отличаются определители, вычеркиваются.

Докажем теперь для определителя D справедливость, например, разложения по k-му столбцу. Для этого представим его в следующем виде:

(здесь каждый элемент k-гостолбца представлен в виде суммы п слагаемых, п - 1 из которых равны нулю). По свойству 9 имеем , где

Определитель равен произведению элемента на его алгебраическое дополнение в этом определителе. Так как определитель D₁лишь k-м столбцом отличается от определителя D, то это алгебраическое дополнение совпадает с алгебраическим дополнением элемента в определителе D: аналогично .■

Определитель третьегопорядка можно вычислять по правилу Саррюса, более высоких порядков лучше вычислять, используя свойства определителей.

Теорема 4.4 Сумма произведений элементов любой строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна 0.

□ Даны определители:

и

Определитель равен нулю, как определитель с двумя одинаковыми столбцами (следствие из свойства 2). Разложив его по элементам k-гостолбца, получим , где — алгебраические дополнения элементов k-гостолбца определителя ,но так как определитель лишь k-мстолбцом отличается от D, то они будут и алгебраическими дополнениями элементов k-гостолбца определителя D. Таким образом, при всех i и k i дляопределителя D . Аналогично, при всех i и k i .■

Следует запомнить, что:

1. Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов.

2. Определитель единичной матрицы равен единице.

3. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

Доказательство аналогично выводу свойства диагональной матрицы.