Ранг матрицы.

Определение. Целое число r называется рангом матрицы А, если у нее имеется минор порядка r, отличный от нуля, а все миноры порядка выше r равны нулю. Ранг матрицы будем обозначать символом .

Вычисляется ранг матрицы методом окаймления миноров.

1) Найти ненулевой элемент матрицы (если такого нет, то ранг равен нулю);

2) Вычислить миноры 2-го порядка, которые окаймляют выбранный элемент.

3) Если среди вычисленных миноров второго порядка имеется отличный от нуля, рассмотреть все миноры третьего порядка, окаймляющие какой-нибудь минор 2-го порядка, не равный нулю. Продолжая так до тех пор, пока все миноры, окаймляющие ненулевой минор k-го порядка, не будут равны нулю. В этом случае ранг матрицы .

Пример. Методом окаймляющих миноров вычислить ранг матрицы

.

Решение.

1) Находим ненулевой элемент матрицы, пусть это будет . Значит .

2) Вычисляем миноры 2-го порядка, окаймляющие выбранный элемент. , следовательно .

3) Вычислим миноры 3-го порядка, окаймляющие минор D. Их всего два , , поэтому .

Указанный выше способ не всегда бывает удобным, т.к. связан с вычислением большого

количества определителей.

Утверждение.Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях ее строк и столбцов.

Сформулированное утверждение указывает второй способ вычисления ранга матрицы. Он называется методом элементарных преобразований. Для отыскания ранга матрицы нужно методом Гаусса привести ее к ступенчатому виду, а затем выделить максимальный ненулевой минор. Поясним это на примере.

Пример. С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы

.

Решение. Выполним в соответствии с методом Гаусса цепочку элементарных преобразований. В результате получим цепочку эквивалентных матриц: