В дискретных САУ сигналы x*(t)=x[nT]=x[n] представляются решетчатыми функциями времени, значения дискрет которых определены в моменты времени t=nT. Непрерывная функция x(t), совпадающая с вершинами дискрет решетчатой функции x[nT], называется огибающей решетчатой функции. Каждая решетчатая функция имеет множество огибающих разной формы (треугольные, гармонические и другие), но в расчетах используется единственная основная огибающая решетчатой функции, которая не только совпадает с вершинами дискрет, но и соответствует решению дифференциального уравнения огибающей наименьшего порядка. Например, решетчатой функции x[nT]=e–αnTсоответствуют две огибающих: x1(t)=e–αt и x2(t)=e–αt(cosωt+bsinωt), но основной огибающей будет x1(t), полученная из решения дифференциального уравнения первого порядка, тогда как x2(t) получается из решения дифференциального уравнения второго порядка [1].
Все операции преобразования решетчатых функций x[n] базируются на преобразованиях их основных огибающих функций. При этом процессы в дискретных САУ, представленные решетчатыми функциями, описываются аналогами дифференциальных уравнений их основных огибающих функций, как в непрерывных САУ.
Аналогом первой производной от основной огибающей решетчатой функции являются первые разности (разности первого порядка):либо первая прямая разность (прямая разность первого порядка) – разность будущего и текущего значений решетчатой функции
(2.1.1)
либо первая обратная разность (обратная разность первого порядка) – разность текущего и прошлого значений решетчатой функции
(2.1.2)
Аналогом второй производной от основной огибающей решетчатой функции являются вторые разности (разности второго порядка):либо вторая прямая разность будущего и текущего значений первых прямых разностей
(2.1.3)
либо вторая обратная разность (обратная разность второго порядка) – разность текущего и прошлого значений первых обратных разностей
(2.1.4)
Третьи и последующие разности определяются аналогично.
Аналогом дифференциальных уравненийдля непрерывных огибающих решетчатых функций в дискретных САУ являются дискретно-разностные уравнения (уравнения в конечных разностях).
В САУ с ЭВМ используются обратные разности, прошлые значения которых имеются в памяти ЭВМ, тогда как использование прямых разностей требует знать будущие значения (знать прогноз, предсказание), что вызывает затруднения.
При использовании обратных разностей неоднородные дискретно-разностные уравнения имеют вид:
(2.1.5)
или с учетом замены приращений значениями дискрет получим
(2.1.6)
Коэффициенты в уравнении (2.1.6) определяются по формуле [1]:
(2.1.7)
(2.1.8)
где k=0, 1, 2, … , m – порядковый номер коэффициента в уравнении (2.1.6); v=0, 1, 2, … , m – порядковый номер коэффициента в уравнении (2.1.5); bv – значения коэффициентов в уравнении (2.1.5).
Дискретно-разностные уравнения можно практически применять в некоторых случаях и при использовании прямых разностей.
Дискретно-разностные уравнения можно рассматривать как рекуррентные соотношения, позволяющие вычислить значения дискрет y[n] при n= 1, 2, 3,… для заданных начальных значениях y[n-m], y[n-m+1], …, y[n-1] c использованием уравнения (2.1.6).
Общее решение однородного дискретно-разностного уравнения (2.1.6) при нулевой правой части выражает свободное (собственное) движение в дискретной САУ. При некратных корнях характеристического уравнения, получаемого из (2.1.6) в виде
(2.1.9)
свободное движение дискретной САУ представляется уравнением
(2.1.10)
где – постоянные коэффициенты, определяемые из начальных условий; – корни характеристического уравнения (2.1.9).
Из (2.1.10) определяется условие устойчивости замкнутой дискретной САУ – все корни характеристического уравнения должны быть по модулю меньше единицы <1, что обеспечивает затухание свободных движений во времени при n→ ∞.
Несмотря на возможность использования дискретно-разностных уравнений для расчета линейных дискретных САУ, практические расчеты обычно ведутся методами, основанными на использовании дискретных преобразований Лапласа и Z-преобразований, что позволяет применять в расчетах хорошо разработанные дискретные аналоги методов расчета линейных непрерывных САУ [1].
2.2. Вычисление Z–преобразований от заданных функций
Вычисление Z–преобразований от типовых функций времени, имеющих табличные Z–изображения, выполняются непосредственно по их табличным Z–изображениям. Если заданная функция времени представлена суммой табличных типовых функций:
(2.2.1)
то Z-изображение суммы табличных функций времени представляется простой суммой Z-изображений каждой из функций в виде:
(2.2.2)
где Т – период дискретизации (период квантования) сигнала.
Вычисление Z–преобразования от дробной функцииF(p) или W(p) с разложением её методом неопределенных коэффициентов на простые дроби, имеющие табличные Z–изображения:
(2.1.1)
(2.1.2)
(2.1.3)
(2.1.4)
(2.1.5)
(2.1.6)
(2.1.7)
(2.1.8)
(2.1.9)
(2.1.10)
– постоянные коэффициенты, определяемые из начальных условий; 
– корни характеристического уравнения (2.1.9).
<1, что обеспечивает затухание свободных движений во времени при n→ ∞.
(2.2.1)
(2.2.2)
(2.2.3)