Пути и циклы

Пусть - граф и, как обычно, .

Путь в графе - это символ вида

где . Таким образом, среди вершин и ребер могут быть повторы. По символу пути на графической интерпретации графа можно воспроизвести «движение» от вершине к вершине, выбирая каждый раз очередное ребро в соответствии с указанием в пути.

Вершины в приведенных выше обозначениях называются концами пути и связанными или соединенными путем L. Отдельным термином выделяют тот факт, что две вершины графа могут быть связаны некоторым путем: их называют связанными. Например, в графе вершины a₃ и a₅ связаны (путем ), а вершины a₄ и a₁ нет.

Путь без повторяющихся ребер называется цепью, а цепь без повторяющихся вершин называется простой. Цепь, в которой сопадают концевые вершины, называется циклом, а цикл в котором нет повторяющихся вершин, кроме концевых, называется простым.

Планариость графов.

Булем говорить, что граф укладывается на поверхности S, если его можно изобразить так, что все вершины его и ребра лежат на этой поверхности и любые два ребра не имеют общих внутренних точек.

Граф называется планарным. если его можно уложить на плоскости.

Граф, все вершины и ребра которого лежат в одной плоскости, причем различные ребра не имеют общих точек, кроме концов ребер, называется плоским графом.

Теорема.Для связного плоского графа, содержащего nвершин, т

ребер и f граней справедлива формула Эйлера n-m+f=2.

Доказательство проведем индукцией по числу ребер в графе. Если m=1, то n=2 и f=1 {граф состоит из одного ребра). 2-1+1=2,Предположим, что указанная в теореме формула справедлива для любого связного плоского графа с т ребрами. Пусть граф имеет т+1 ребро, п вершин и /ребер. Удалим одно ребро. Если G разбился на две компоненты связности с количеством вершин n1 и n2, где n=n1+n₂, количеством ребер m1 и т₂, где m=m1+m2, количеством граней f1 и f2, где f=f1+f2-l (общее количество граней не изменилось, но у компонент общая внешняя грань).

По предположению индукции, n1-m1+f1=2, n2-m2+f2=2. Тогда n-(m+1)+f=n1+n2-m1-m2-1+f1+f2-1=(n1-m1+f1)+(n2-m2+f2)-2=2+2-2=2

Если после удаления ребра граф остался связным,то количество граней
уменьшилось на 1. Попредположению индукции, n-m+(f-1)=2, поэтому, n-(m+1)+f=n-m+(f-1)=2.

Рассмотрим графы K3,3 и K5.

Покажем, что эти графы не являются планарными. Допустим, что граф Kз,з планарен. Он имеет 6 вершин и 9 ребер. Тогда, по формуле Эйлера, количество граней равно f=2+m-n=2+9-6=5. Всякая внутренняя грань ограничена простым циклом. В Kз.з любой простой цикл содержит не менее 4-Х ребер, значит, каждая внутренняя грань ограничена не менее чем четырьмя ребрами. Каждое ребро является границей для двух граней, если оно не является концевым. Поэтому, 4f<2m, следовательно,f<=[m/2]=4([m/2]—

целая часть числа m/2). Но, по условию f=5. Противоречие. Следовательно,

граф K3,3 не является плaнарным.

В графе К₅ 5 вершин и 10 ребер. По формуле Эйлера, 5-10+f=2. Количество граней f=7. Каждый простой цикл содержит не менее 3-х ребер. Значит, 3f<=2m (по аналогии с предыдущим доказательством). 3f<=20,

f<=[20/3]=6, но f=7. Противоречие. К5 не является планарным графом.

Справедлива теорема Понтрягина-Куратовского: Теорема. Граф планарен тогда и только тогда, когда ни один из его подграфов не гомеоморфен ни графу K3,3ни графу К₅.Нетрудно увидеть, что графы К3,3 и К₅ укладываются на поверхности тора.