ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ДУГИ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ

Если кривая y = f(x) на отрезке [а, b] — гладкая (т. е. производная y' = f (x) непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле

При параметрическом задании кривой x = x(t), y = y(t) [x (t) и у (t) — непре­рывно дифференцируемые функции] длина дуги кривой, соответствующая моно­тонному изменению параметра t от t_l до t₂, вычисляется по формуле

Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением р=р(θ), α≤θ≤β, то длина дуги равна

1610.Найти длину дуги кривой y² = х³ от x=0 до x=1 (y≥0).

Решение. Дифференцируя уравнение кривой, найдем у' = (3/2) x^1/2. Таким образом,

1611. Найти длину дуги кривой x = cos⁵t, y=sin⁵t от t₁ = 0 до t₂=π/2

Решение. Найдем производные по параметру t: х=—5 cos⁴ t sin t, у = 5 sin⁴t cos t. Следовательно,

1612. Найти длину дуги кривой р = sin³ (θ/3) от θ₁ = 0 до θ₂ = π /2.

Решение. Имеем р' = sin² (θ /3) cos (θ /3). Следовательно,

Вычислить длины дуг кривых:

1613. y=ln sin x от x = π /3 до x = π /2.

1614. между точками пересечения с осью Ох.

1615. у = х²/2 от x = 0 до х=1.

1616. y=1-ln cos x от x = 0 до х = π /6.

1617. y=ch x от x=0 до x=1

1618. x=t³/3-t, y=t²+2 от t = 0 до t = 3.

1619.x=e^tcost, y = e^tsint от t = 0 до t = ln π.

1620. x = 8sint+6cost , y=6sint – 8cost x = 0 до х = π /2

1621. x = 9(t — sint), y = 9(l—cost) (длину дуги одной арки циклоиды).

1622. ρ=θ² от θ = 0 до θ = π.

1623. ρ = a sin θ.

1624. ρ = a cos³(θ /3) от θ =0 до θ = π /2.

1625.ρ = l-cos θ.