ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

Площадь криволинейной трапеции, ограниченно кривой y = f(x) [f (x)≥0], прямыми х = а и х = b и отрезком [а, b] оси Ох, вычисляется по формуле

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y = f₁ (х) и y=f₂ (х) [f₁≤f₂ (x)] и прямыми х = а и х = b, находится по формуле

Если кривая задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), то пло­щадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми х = а, х = b и отрезком [а,b] оси Ох, выражается формулой

,

где t₁ и t₂ определяются из уравнений a = x(t₁), b=x(t₂) [y(t) ≥0 при t₁≤t ≤t₂].

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в поляр­ных координатах уравнением р = р(0) и двумя полярными радиусами θ = α, θ = β (α < β), выражается интегралом

1592. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = 4х — x² и осью Ох.

Решение. Парабола пересекает ось Ох в точках 0(0; 0) и М (4; 0). Следо­вательно,

(кв. ед.).

1593.Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=(x-1) ²и гиперболой

x²-y²/2=1.

Решение. Найдем точки пересечения параболы и гиперболы, для чего решим совместно уравнения этих кривых:

или

Левую часть последнего уравнения можно разложить на множители: ,откуда x₁=1, x₂=3 и y₁=0, y₂=4. Таким образом, заданные кривые пересекаются в точках A(1;0) и B(3;4). Следовательно,

1594. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды x = 2(t — sint), y = 2(t— cos t) и осью Ох.

Решение. Здесь dx = 2(1—cost)dt, a t изменяется от t₁ = 0 до t₂ = 2π. Следовательно,

(кв. ед.).

1595. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной лемниска­той p² = 2cos2θ.

Решение. Четвертой части искомой площади соответствует изменение θ от 0 до π/4, а потому

(кв. ед.).

Вычислить площади фигур, ограниченных заданными линиями:

1596.у = — х², x+y+2=0

1597. (I четверть).

1598. .

1599. (I четверть).

1600. .