ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Пусть функция f(х) определена на отрезке [а,b]. Разделим отрезок [а, b] на п произвольных частей точками а = х₀ < х₁ < x₂ < ... < х_п-1 < х_п = b, выберем на каждом элементарном отрезке [x_k-1, x_k] произвольную точку ξ_k и найдем длину каждого такого отрезка: .

Интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b] называется сумма вида ,причем эта сумма имеет конечный предел I, если для каждого ε>0 найдется такое число δ>0, что при мах ∆x_k< δ неравенство |σ-I|< ε выполняется при любом выборе чисел ξ_k.

Определенным интегралом or функции f (х) на отрезке [а, b] (или в пределах от а до b) называется предел интегральной суммы при условии, что длина наи­большего из элементарных отрезков (мах ∆x_k) стремится к нулю:

Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения отрезка [а, b] на элементарные и от выбора точек ξ_k. (теорема существования определенного интеграла).

Числа a и b соответственно называются нижним и верхним пределами интегрирования.

Если f(x)>0 на [а,b], то определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции — фигуры, ограниченной линиями y = f(x), x = a, х = b, у = 0 (рис. 42).

Рис. 42

Основные свойства определенного интеграла

1°.

2°.

3°.

4°.

5°. ,где С- постоянная

6°. Оценка определенного интеграла: если на [a, b], то

m(b-a)< <M(b-a)

Правила вычисления определенных интегралов

1. Формула Ньютона — Лейбница:

где F (х) — первообразная для f(x), т. е. F'(x)=f(x).

2. Интегрирование по частям:

где и = и(х), v = v (х) — непрерывно дифференцируемые функции на отрезке [а, b].

3. Замена переменной:

где x=φ(t) — функция, непрерывная вместе со своей производной φ ' (t) на отрезке , a=φ(α), b= φ(β), f[φ(t)]— функция, непрерывная на [α, β].

4. Если f(х) — нечетная функция, т. е. f(- х) =-f (х), то

Если f(х) — четная функция, т. е. f(- x)=f(x), то

1538.Вычислить интеграл , как предел интегральной суммы.

Решение. Здесь f(x) = x², а = 0, b = 1; разделим отрезок [0, 1] на n равных частей, тогда , выберем ξ_k =x_k. Имеем:

;

Следовательно,

Здесь использована формула суммы квадратов натуральных чисел.

1539.Вычислить по формуле Ньютона — Лейбница.

Решение.

1540.Оценить интеграл

<8*10^-2<10^-1, т. е. <0,1

1541.Оценить интеграл