ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

1. Интегралы вида ,где R— рациональная функция.

Интегралы указанного вида приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью так называемой универсальной тригонометрической подстановки tg(x/2) = t.

В результате этой подстановки имеем:

1472.Найти интеграл

Решение.

Подынтегральная функция рационально зависит от sin x и cos x; применим подстановку tg(x/2) = t, тогда и

Возвращаясь к старой переменной, получим

▲

1473.Найти интеграл

Решение.

Полагая tg(x/2) = t, получим

▲

Универсальная подстановка tg(x/2)=t во многих случаях приводит к слож­ным вычислениям, так как при ее применении sin x и соsx: выражаются через t в виде рациональных дробей, содержащих t².

В некоторых частных случаях нахождение интегралов вида может быть упрощено.

1. Если R(sinx, cos x) — нечетная функция относительно sinx, т. е. если R(—sin x, cosx) =— R (sin x, cosx), то интеграл рационализируется подстановкой cosx = t.

2. Если R(sinx, cosx)—нечетная функция относительно cosx, т. е. если R(sinx, —cosx) = —R (sin x, cos x), то интеграл рационализируется с помощью подстановки sin x = t.

3. Если R (sin x, cos x) — четная функция относительно sin x и cosx, т. е. если R(—sinx, — cosx) = R (sin x, cosx), то к цели приводит подстановка tgx = t.

1474.Найти интеграл

Решение. Так как подынтегральная функция нечетна относительно синуса, то полагаем cosx = t. Отсюда sin²x=1, cos2x = 2 cos²x-1 =2t²-1, dt = - sinxdx. Таким образом,

Следовательно

Отметим, что в рассматриваемом случае интеграл всегда может быть записан виде

▲

1475.Найти интеграл .

Решение.

Здесь подынтегральная функция является нечетной относительно косинуса. Поэтому применяем подстановку sinx = t; тогда cos²x= 1 — sin² x = 1— t², cosxdx = dt. Следовательно,

Так как

то

Окончательно получаем

Отметим, что в рассматриваемом случае интеграл всегда может быть записан в виде . ▲

1476.Найти интеграл

Решение.

Подынтегральная функция четна относительно синуса и коси­нуса. Полагаем tgx = t; тогда

Отсюда

,

Далее имеем

и, следовательно,

Заметим, что нахождение интеграла можно упростить, если в исходном инте­грале разделить числитель в знаменатель на cos²x:

▲

2. Интегралы вида . Мы выделим здесь два случая, имеющие особенно важное значение.

С л у ч а й 1. По крайней мере одни из показателей т или n —нечетное поло­жительное число.

Если п — нечетное положительное число, то применяется подстановка sinx=t; если же т — нечетное положительное число, — подстановка cosx = t.

1477.Найти интеграл .

Решение.

Полагая sinx=t, cosxdx = dt, получим

▲

1478.Найти интеграл

Решение.

Имеем

Полагая cos x = t , — sin x dx = dt, получим

▲

С л у ч а й 2. Оба показателя степени т и n — четные положительные числа. Здесь следует преобразовать подынтегральную функцию с помощью формул

, (1)

, (2)

. (3)

1479.Найти интеграл

Решение.

Из формулы (1) следует, что

.

Применив теперь формулу (2), получаем

.

Итак,

▲

1480. Найти интеграл

Решение. Используя формулу (3), получим

=

=

=

=

=

1481.Найти интеграл

Решение. Имеем

3. Интегралы вида tg^m x dx и ctg^m x dx, где m — целоеположительное число.

При нахождении таких интегралов применяется формула tg² x = sec² x — 1 (или ctg² x = cosec² x — 1), с помощью которой последовательно понижается степень тангенса или котангенса.
1482.Найти интеграл

Решение. Имеем

1483. Найти интеграл

Решение. Имеем

=

=

4. Интегралы вида и ,где п — четное поло­жительное число. Такие интегралы находятся аналогично рассмотренным в п. 3 с помощью формулы

sec² x = 1 + tg² x (или cosec² x = 1 + ctg² x).

1484. Найти интеграл .

Решение. Имеем

1459.Найти интеграл

Решение. Имеем

=

5. Интегралы вида и .Интегралы от нечетной положительной степени секанса или косеканса проще всего находятся по рекуррентным формулам:

(1)

(2)

1460.Найти интеграл

Решение. Применяя рекуррентную формулу (2) при 2n+1=5, т. е. при n = 2, получим

полагая теперь 2n+1=3, т. е. n=1, по той же формуле имеем

нo

Следовательно,

6. Интегралы вида .