Решение оптимизационных задач без ограничений

Заняття 13

Пошук екстремумів функцій однієї та двох змінних в MathCAD

В ряде задач проектирования существует необходимость определить значения параметров, которые доставляют максимум или минимум некоторому функционалу (или целевой функции), зависящему от этих параметров. Если на значения этих параметров не заданы какие-либо ограничения (например, требование положительности), то приходим к задаче безусловной оптимизации (или оптимизации без ограничений). Если заданы ограничения, определяющие допустимые значения параметров, то приходим к задаче условной оптимизации (оптимизации с ограничениями). Вторая задача отличается от первой тем, что решение ищется только среди допустимых значений или, иначе, на допустимом множестве параметров.

Решение оптимизационных задач без ограничений

Для этого используются функции MathCAD Maximize, Minimize и блок Given/ Minerr:

· Maximize(f,<список параметров>) – вычисление точки максимума;

· Minimize(f,<список параметров>) – вычисление точки минимума, где f – имя минимизируемого функционала, определенного до обращения к функции; <список параметров> – содержит перечисление (через запятую) имен параметров, относительно которых решается оптимизационная задача.

· Given/ Minerr.

Внимание! Перед обращением к функциям Maximize, Minimize (имена которых начинаются прописными буквами) и блоку Given/ Minerr обязательно задать начальное значение параметров оптимизации.

Пример 1.Дан функционал:

.

Определить значения x, y, z, при которых g(x, y, z) достигает минимального значения.

Документ MathCAD, решающий эту задачу, приведен на рис. 1. ¨

Рис. 1. Пример минимизации функционала

Пример 2. Дан функционал:

.

Определить значения u, v, при которых f(u,v) достигает максимального значения.

Документы MathCAD, решающие эту задачу приведены на рис. 2.

Рис. 2. Максимизация функционала

Пример 3. Поиск точки минимума функционала Розенброка:

.