Пусть существуют два наименьших элемента a и b. Тогда a 
b,поскольку a наименьший и, аналогично, b a, поскольку b – наименьший. По антисимметричности, a = b.
В частично упорядоченном множестве с отношением порядка наряду с минимальными и наименьшими элементами можно определить максимальные и наибольшие элементы, используя обратное отношение 
.
ЗАМЕЧАНИЕ Используя теоремы подраздела 1.8.1. нетрудно показать, что все утверждения относительно минимальных и наименьших элементов имеют место и относительно максимальных и наибольших элементов, соответственно, то есть имеет место двойственность.
1.8.4.
…
ТЕОРЕМА Пусть М – частично упорядоченное множество, а Х – любое его подмножество. Тогда:
- Если существует наименьший элемент a = min X, то a = inf X;
- Если существует инфимум a = inf X и aÎX, то a = min X.
