Доказательство

Предоставляется читателю. 

СЛЕДСТВИЕ. Если £ – отношение нестрогого частичного порядка, то дополнительное отношение > является отношением строгого частичного порядка.

Даже если частично упорядоченное множество не является линейно упорядоченным, в нем могут найтись линейно упорядоченные подмножества.

Пример Семейство подмножеств {C_i} множества A называется цепочкой в A, если "i (C_iÌC_i+1 & C_i¹C_i+1). Любая цепочка образует линейно упорядоченное подмножество частично упорядоченного множества 2^A.

Линейно упорядоченное подмножество {a₁, …, a_n, …} можно рассматривать как последовательность áa₁, …, a_n,…ñ, в которой "i (a_i a_i+1 & a_i¹a_i+1). Такие последовательности называются строго монотонно возрастающими, или просто возрастающими. Последовательности могут быть конечными или бесконечными. Если последовательность конечная, количество элементов в ней называется длиной.

Говорят, что частично упорядоченное множество имеет конечную высоту k, если любая возрастающая последовательность имеет длину не более k.

1.8.2. Минимальные и наименьшие элементы

Элемент х множества М с отношением порядка называется минимальным, если не существует меньших элементов: , иначе говоря, .

…

Пусть M – частично упорядоченное множество с отношением порядка , а X – его подмножество, XÌM. Элемент a называется наименьшим в X (обозначение a = min X), если aÎX & "xÎX (x¹a Þ a x).

Из определения и антисимметричности порядка следует, что если наименьший элемент существует, то он единственен.

Очевидно, что наименьший элемент, если он существует, является минимальным. Но элемент может быть минимальным, не будучи наименьшим. Более того, конечное частично упорядоченное множество, имея минимальные элементы, может не иметь наименьшего элемента.

Пример Пусть в множестве {a, b, c, d} задано отношение порядка {(a, b), (c, d)}. Тогда элементы a и c минимальные, но наименьшего элемента не существует.

ТЕОРЕМА Наименьший элемент, если он существует, является единственным.