Решение.

Таблица 22

Очевидно, что = {3, 5, 7}, = {1, 1, 1}.

Таким образом, на множестве M P (x) = Q (x). На L и K предикаты не равносильны, ибо на L, например, 2 – простое и четное число, а на K 9 – нечетное, но составное число (табл. 22).

Пример 3. Найти область истинности предиката и изобразить на плоскости.

Решение. Неравенство, составляющее исходный предикат, ограничивает часть плоскости, заключенной между ветвями параболы (рис. 40)

Рис. 40

Пример 4. Так как здесь то искомый предикат имеет вид

Функциональная природа предиката влечет за собой введение еще одного понятия – квантора. Кванторные операции можно рассматривать как обобщение операций конъюнкции и дизъюнкции в случае бесконечных областей.

Пусть дан предикат P (x), определенный на множестве М. Если , то P (a) – высказывание, называемое единичным.В логике предикатов рассматривается еще две операции, которые превращают одноместный предикат в высказывание.

Определение.Пусть P (x) – предикат, . Под выражением понимают высказывание, истинное, если P (x) истинно для каждого элемента , и ложное в противном случае.

Символ называется квантором всеобщности. Соответствующее ему словесное выражение звучит так: “для всякого х P (x) истинно”. Переменная х в предикате P (x) называется свободный(х любое из М), в высказывании переменную х называют связаннойпеременной.

Если предикат Р (х) определен на конечном множестве , то

(*)

Определение.Пусть Р (х) – предикат, . Под выражением понимают высказывание, истинное, или существует элемент , для которого Р (х) истинно, и ложное в противном случае.

Символ называется квантором существования. Словесное выражение звучит так: “существует х, при котором Р (х) истинно ”. Высказывание уже не зависит от х, переменная х связана квантором .

Аналогично (*) имеет место равносильности

(**)

Из (*) и (**) следует – кванторные операции обобщают операции конъюнкции и дизъюнкции на случай бесконечных областей.

Кванторные операции применяются и к многоместным предикатам. Например, применение к кванторной операции к предикату Р (х, у) по переменной х ставит в соответствие двухместному предикату Р (х, у) одноместный предикат или , зависящий от у не зависящий от х. К этому предикату можно применить кванторную операцию по переменной у. В результате получим или высказывание или высказывание . Таким образом, может быть получено одно из восьми высказываний: , , , , , , ,

В общем случае изменение порядка следования квантеров изменяет смысл высказывания и его логическое значение, например, высказывания и различны.

Пример.Установить истинность или ложность высказывания

,

Исходное высказывание преобразуем к виду

Исходное высказывание истинно.

Пример. Установить истинность или ложность высказывания

Действуем аналогично

,

Но поэтому любым х не может быть ,исходное высказывание ложно.