Логика предикатов

Предикат(от лат. “сказуемое”) P - функция, переменные которой принимают значения из которого произвольного множества или множеств, возможно, и бесконечных, а сама функция принимает два значения: “истина” или “ ложь” (1 или 0).

Определение 1.Одноместным предикатом P(x) называется всякая функция одного переменного, в которой аргумент х пробегает значения из некоторого множества М, а функция при этом принимает одно из двух значений: истина или ложь.

Множество М, на котором задан предикат, называется областью определенияпредиката.

Множество , на котором предикат принимает только истинные значения, называется областью истинностипредиката P (x).

Предикат P (x) называется тождественно истинным (ложным)на множестве М, если .

Определение 2.n – местным предикатом называется всякая функция n переменных Q , определенная на множестве и принимающая на этом множестве одно из двух значений: истина или ложь.

Говорят, что предикат P (x) является следствиемпредиката Q (x) если и предикаты P (x) и Q(x) равносильны если

Так как предикаты принимают два значения 0 и 1, то к ним применимы все операции логики высказываний.

Пример 1.Выяснить, какие из следующих предикатов являются тождественно истинными:

1).

2).

3).

4).

5).

Решение. Предикаты 1), 3), 4) являются тождественно истинными. В предикате 2) при х = 0, у = 0 неравенство нарушается, а в предикате 5) неравенство нарушается при всех положительных значениях х. Следовательно, предикаты 2) и 5) не тождественно истинны.

Определение 3.Конъюнкцией двух предикатов P (x) и Q (x) называется новый предикат который принимает значение “истина ” при тех и только значениях при которых каждый из предикатов принимает значение “истина”, и “ложь” во всех остальных случаях.

Область истинности предиката -

Определение 4.Дизъюнкцией двух предикатов P (x) и Q (x) называется новый предикат который принимает значение “ложь” при тех и только тех значениях при которых каждый из предикатов принимает значение “ложь” и “истинна” – во всех остальных случаях.

Область истинности:

Аналогично определяются операции импликация, эквивалентностьдвух предикатов и отрицаниепредиката. При этом:

При выполнении логических операций над предикатами к ним применимы и равносильностиалгебры логики.