В повседневной жизни случается так, что нам недостает сведений о каком – то интересующим нас предмете. В этом случае приходится обращаться к различным источникам ( справочникам, энциклопедиям и т.д. ). Но иногда мы пытаемся необходимые сведенья получить самостоятельно, без использования чьих – либо знаний. Можно прийти к нужным нам сведеньям либо путем соответствующих наблюдений и опытов, либо при помощи правильного умозаключения. Конечно же в становлении человеческого знания как целого опыт сыграл гораздо большую роль в сравнении с умозаключением. Однако умозаключение также представляет собой одно из действий, увеличивающих наши значения.
В рассуждениях, принятых называть умозаключениями, всегда приходится иметь дело с двумя группами информации:
1. Сведения, которыми мы располагаем до начала рассуждения.
2. Сведения, которые выводятся из первой группы путем рассуждения.
Информацию первого типа называют посылками или условиями, а второго – выводами умозаключений.
Очевидно, что не каждое рассуждение углубляет наши знания и не каждое обогащает их истинными сведениями. Рассуждение, как и всякое другое действие, может быть проведено логично ( ошибочно ), и тогда трудно полагать на выводы. Кроме того, если посылки в рассуждении были логичными, то нет основания доверять выводам из них, хотя бы по аналогии с другими, похожими действиями. Посылки ( условия ) представляют собой как бы материал, сырье для умозаключения, а выводы – готовую продукцию умозаключения. Посылки или выводы являются хорошими, правильными, если они истинны, т.е. соответствуют действительности. Следовательно, способ умозаключения можно назвать правильными, если он от истинных посылок всегда ведет к истинным выводам.
Такое описание правильного умозаключения в данном случае не дает никакого рецепта, таким образом следует рассуждать, чтобы проводить правильное умозаключение. Но раскрытие подобного рода рецептов очень важно.
Не удивительно также, что издавна различные мыслители пробовали давать различные рецепты ( правила, схемы ) правильных умозаключений, которые от истинных посылок неизбежно приводят только к истинным выводам ( заключениям, следствиям ). Этих мыслителей называют логиками, а науку, устанавливающие методы ( схемы ) правильных умозаключений, - формальной логикой.
Формальная логика существует уже более двух тысячелетий.
Идеи о построении логики на математической основе, т.е. по сути математической логики были высказаны Лейбницем еще в начале 18 – го века. Эти идеи впервые были реализованы Д. Булем в середине 19 – го столетия. Буль создал алгебру, в которой буквами обозначены высказывания ,что привело к появлению алгебре высказываний.
Современная математическая логика определяется как раздел математики, посвященный изучению математических доказательств и вопросов основания математики. Однако из главных причин широкого распространения математической логики – применение аксиоматического метода в построении математических теорий. В нее сначала выбираются некоторые понятия, которые не определяются, а лишь поясняются и в этой связи их называют основными. Остальные понятия, называемые производными, определяются в основных терминах.
Математическая логика, исходя из основных законов логики формальной, исследует закономерности логических процессов, применяя математические методы. Известный математик Д. Гильберт по этому поводу сказал: “… Логические связи, которые существуют между суждениями, понятиями и т.д., находят свое выражение в формулах, толкования которых свободно от неясностей, какие легко могли бы возникнуть при словесном выражении”.
И действительно, математический ( точнее, символический) язык оказался для этого самым подходящим. Математическая логика не только помогла создать теорию математического доказательства, но и оказала большое влияние на развитие математики в целом.
