1. Условие симметрии
= 
.
2. Формулы сложения
а) = 
б) + 
.
3. Вынесение за скобки
= 
4. Формула суммирования
5. Обращение знака индекса
,
6. Упрощение произведения
7. Полиномиальная теорема
Примеры.
1.Доказать, что для каждого натурального числа n верно равенство
Решение.Используя формулу ( 11 ) для чисел a = -1, b = 1, получим
или
2. Исходя из свойств сочетаний вычислить сумму
и проверить справедливость полученного равенства при n= 4.
Решение. При каждом конечном n данная сумма имеет определенное значение, т.е. является функцией от n (n=1, 2, 3, …).
Ставится задача: найти выражение, зависящее от n, но не содержащее сочетаний и такого, чтобы при одних и тех же значениях n ( n = 1, 2, 3, … ) данная сумма и полученное выражение имели бы одно и то же числовое значение. В процессе преобразования суммы будет использована формула
( * )
Приступим к преобразованию данной суммы
Применим формулу ( 8 ) к каждому слагаемому суммы. Получим
Сократим каждое слагаемое на 1, 2, 3, … соответственно и вынесем за скобки n. Тогда последнее соотношение примет вид
Таким образом
Проверим справедливость полученного равенства при n = 4
Итак, 32 = 32.
