Отображение множеств. Функции.

Соответствиемежду множествами А и В называется подмножество их декартова произведения

Иными словами, пары задают соответствие между множествами А={ } и В={ }, если указано правило R, по которому для элемента множества А выбирается элемент из множества В.

Если элементу поставлен в соответствие некоторый элемент , b называется образом элемента а и записывается так: b= R (a). Тогда - прообраз элемента , который обладает свойствами единственности и полноты:

1. Каждому прообразу соответствует единственный образ;

2. Образ должен быть полным, так же как полным должен быть и прообраз.

Пример.Если А – множество парабол, В – множество точек плоскости, а R – соответствие “вершина параболы”, то R (а) – точка, являющая вершиной параболы a, а состоит из всех парабол с вершиной в точке b (рис. 6)

Образ множества А при соответствии R называется множеством значений этого соответствия и обозначается R (A), если R (A) состоит из образов всех элементов множества А.

Прообраз множества В при некотором соответствии R называют областью определения этого соответствия и обозначают . В свою очередь является обратным соответствием для R.

Так, для соответствия R, заданного точками координатной плоскости, областью определения является множество точек оси абсцисс, а множеством значений – проекции точек на ось ординат (рис.7). Поэтому для некоторой точки

Рис. 6.

Рис. 7

М (х, у) у является образом, а х – прообразом при некотором соответствии R: У=R (x), Соответствие между множествами Х, удобно в виде точки на плоскости с помощью метода декартовых координат.

Пусть задано соответствие R и Y=R (X). Ему соответствуют точки М с координатами (х; у) (рис. 7). Тогда множество точек плоскости, выделяемое отображением R, будет графиком.

Для описания соответствий между множествами используют понятие отображение (функции) одного множества на другое.

Для задания отображения необходимо указать:

1.Множество, которое отображается (область определения данного отображения, часто обозначаются );

2.Множество, в (на) которое отображается данная область определения (множество значений этого отображения, часто обозначается );

3.Закон или соответствие между этими множествами, по которому для элементов первого множества (прообразов, аргументов) выбраны элементы (образы) из второго множества.

Обозначения: .

Способы задания отображений: аналитический (в виде формул), табличный, графический (диаграммы или графы).

Различают два основных вида однозначных отображений (функций). По мощности они делятся на сюръективные и инъективные.

1. Соответствие, при котором каждому элементу множества А указан единственный элемент множества В, а каждому элементу множества В можно указать хотя бы один элемент множества А, называется отображением множества А на множество В(сюръекция).

2. Соответствие, при котором каждому элементу множества А соответствует единственный элемент множества В, а каждому элементу В соответствует не более одного прообраза из А, называется отображением множества А во множество В (инъекция).

Отображение множества А на множество В, при котором каждому элементу множества В соответствует единственный элемент множества А, называется взаимно – однозначным соответствием между двумя множествами, или биекцией.

График непрерывного бисктивного отображения показан на рис. 8.

Рис. 8.

Если множество А отображается взаимно – однозначно на множество В, т.е. , то отображение , при котором каждому элементу множества В ставится в соответствие его прообраз из множества А, называется обратным отображением для и записывается . Так как одному образу пи биекции соответствует в точности один прообраз, обратное отображение будет определено всюду на В и однозначно.

Для биекции принята запись: .

Таким образом, биекция – функция, являющаяся одновременно инъекцией и сюръекцией.