СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

В некоторых учебниках по теории вероятностей можно встретить такое определение случайной величины.

Числовая величина X, значение которой может меняться в зависимости от случая, называется случайной величиной.

Как понимать это определение? Под случаем мы понимаем элементарное событие.Каждое элементарное событие с помощью явной или неявной процедуры случайного выбора может реализоваться в соответствии с его вероятностью. Поэтому в рамках теоретико-вероятностной схемы, когда предполагается, что имеется некоторое пространство элементарных событий, случайной величиной называют функцию, заданную на множестве элементарных событий. Случайные величины обычно обозначаются большими буквами латинского алфавита X, Y, Z и т. д., причем зависимость от часто не обозначается.

Обычно выделяют два основных типа случайных величин: дискретные и непрерывные.

Случайная величинаX = X(ω)называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно.

Для дискретной случайной величины X введем функцию – дискретную плотность распределения случайной величины X,определяя ее формулой .

Для каждого множества с помощью дискретной плотности распределения на основании теоремы сложения можно вычислить , здесь суммирование распространяется на всевозможные значения случайной величины X, принадлежащие множеству A.

Функция множества называется распределением случайной величины X.

Таким образом, дискретная плотность распределения случайной величины X полностью определяет ее распределение. С точки зрения теории вероятностей распределение случайной величины содержит всю полезную информацию о ней, поскольку знание распределения позволяет вычислять вероятности всех событий, связанных с этой случайной величиной.

Простейшей формой задания распределения дискретнойслучайной величины является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности.

			....

Эту таблицу будем называть рядом распределения случайной величины.

Задача 37. Стрелок ведет стрельбу по мишени до первого попадания, имея боезапас 4 патрона. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Построить ряд распределения боезапаса, оставшегося неизрасходованным.

Решение: Случайная величина Х – число неизрасходованных патронов имеет четыре возможных значения: 0, 1, 2 и 3. Вероятности этих значений равны соответственно:

	0,064	0,096	0,24	0,6

Функцией распределения случайной величины Х (обозначается F(x)) называется функция, определяемая соотношением .

С помощью этой функции также можно вычислить распределение случайной величины.

Функция распределения связана с дискретной плотностью распределения формулой

Здесь суммирование ведется по всем значениям случайной величины X (мы обозначаем их ), меньшим x.

Из этой формулы легко вывести, что .

Последнее равенство означает, что дискретная плотность распределения случайной величины X равна скачку ее функции распределения в точке x (плотность равна нулю, если в точке нет скачка).

Приведем некоторые свойства функции распределения дискретной случайной величины, которые можно легко вывести из определения.

1) Функция распределения F(x) неубывающая функция;

2) , ;

3) непрерывна слева.

Функция распределения дискретной случайной величины представляет собой неубывающую ступенчатую функцию, значение которой начинается от нуля и доходит до единицы, причем функция имеет скачки в точках, равных возможным значениям случайной величины, и скачки равны вероятностям соответствующих значений.

Задача 38. Произведем один опыт, в котором может произойти или не произойти событие А. Вероятность события А равна . Случайная величина Х – число появлений события А в опыте. Необходимо построить функцию распределения случайной величины Х.

Решение. Ряд распределения случайной величины Х имеет вид:

	0.7	0.3

Построим функцию распределения F(x)для Х. По определению она равна . Следовательно, при функция равна нулю, при она равна 0,7,а при равна 1.

Рассмотрим основные числовые характеристики дискретной случайной величины.

Математическим ожиданием или средним значением дискретной случайной величины X называется постоянная, которую обозначают символом иопределяют равенством:

Здесь суммирование распространяется на всевозможные значения случайной величины и .

Комментарий. Если предположить, что x_i – это материальные точки массой , то математическое ожидание можно интерпретировать как центр масс. В механике центр масс играет важную роль. Обычно, когда протяженное тело хотят рассматривать как точечное, то его помещают в центр масс, так что его рассматривают как центральную точку тела (с учетом распределения масс). Точно также математическое ожидание рассматривают как центральную точку случайной величины.

Приведем основные свойства математического ожидания.

1) Математическое ожидание постоянной равно ей самой .

2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания .

3) Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий, т. е. .

4) Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т. е. .

Рассмотрим отклонение случайной величины от ее математического ожидания . Очевидно, что математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю.

Для вычисления числовых характеристик случайной величины удобно использовать формулу , в которой некоторая функция, а случайная величина определяется равенством .

Понятие момента, широко применяемое в механике для описания распределения масс (статистические моменты, момент инерции и т. п.), естественно переносится на случайные величины.

Начальный момент s-го порядка случайной величины обозначается символом и определяется выражением:

Центрированной случайной величиной, соответствующей случайной величине , называется отклонение случайной величины X от ее математического ожидания: . Нетрудно показать, что математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю.

Моменты центрированной случайной величины называются центральными моментами исходной случайной величины.

Центральным моментом s-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание s-й степени соответствующей центрированной случайной величины:

Комментарий. Очевидно, что для любой случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю.

Второй центральный момент случайной величины, ввиду его крайней важности среди других характеристик, называется дисперсией и обозначается

Дисперсия случайной величины характеризует рассеяние (вариацию, разброс) этой величины относительно ее математического ожидания. Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину , называемую среднеквадратическим отклонением случайной величины X.

Свойства дисперсии:

1) Дисперсия константы равна нулю.

Это свойство вытекает из соотношений .

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат, т. е. .

3) Дисперсия суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т. е. .

4) Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания .

Это соотношение становится очевидным, если раскрыть квадрат под знаком математического ожидания в формуле, определяющей дисперсию.

Приведем задачи на вычисление числовых характеристик дискретных случайных величини их решения.

Задача 39. Пусть распределение случайной величины Xзадано следующей таблицей

	p

Распределение такой случайной величины называется распределением Бернулли. Вычислить математическое ожидание, дисперсию, начальный и центральный моменты порядка s для случайной величины Х.

Решение.

, ,

, .

Задача 40. Пусть производится n независимых испытаний с вероят-ностью успеха p в одном испытании. Пусть Xравно общему числууспехов. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

Решение. где , если в испытании с номером i был успех, и , если в этом испытании была неудача. Случайные величины X_i независимы, поскольку испытания независимы, и каждая случайная величина имеет распределение Бернулли, математическое ожидание которого было вычислено в предыдущей задаче. Поэтому

Задача 41. Пусть случайная величина Xпринимает значения , с вероятностями, равными .

Определить и .

Решение. . Воспользуемся формулой для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии . Положим и получим . Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой . Вычислим значение первого слагаемого по формуле

Таким образом, эта случайная величина имеет бесконечную дисперсию.

Задача 42. Распределение случайной величины X задано таблицей

Вычислить и для .

Решение. Воспользуемся формулой , здесь .

.

.

.

Задача 43. На гранях тетраэдра написаны цифры 1, 2, 3, 4. Тетраэдр бросают на плоский стол. Если тетраэдр падает на стол гранью с цифрой i , то выдают рублей. Найти математическое ожидание и дисперсию выигрыша, если тетраэдр бросили 10 раз.

Решение. Пусть – выигрыш при j-м бросании. Тогда

.