Представление(кодирование) чисел

Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с помощью набора специальных символов – цифр.

Система счисления — способ записи чисел с помощью набора специальных знаков, называемых цифрами.

Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от её положения в числе (позиции).

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе.

Непозиционные системы счисления.

В непозиционной системе счисления местоположение символа, определяющего цифру (число), не оказывает влияние на размер числа.

Примером такой системы является Римская система счисления.

Символы используемые в Римской системе счисления отображения чисел:

Натуральные числа записываются при помощи повторения этих 7 римских цифр.

Мнемоническое правило для запоминания буквенных обозначений римских цифр в порядке убывания (автор правила - А.Касперович):

Mы
Dаем
Cоветы
Lишь
Xорошо
Vоспитанным
Iндивидам

Правила записи чисел римскими цифрами:
- если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения),
- если меньшая цифра стоит перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания).

Второе правило применяется для того, чтобы избежать четырёхкратного повторения одной и той же цифры. Так, римские цифры I, Х, С ставятся соответственно перед Х, С, М для обозначения 9, 90, 900 или перед V, L, D для обозначения 4, 40, 400.

Примеры записи чисел римскими цифрами:
VI = 5+1 = 6,
IV = 5 - 1 = 4 (вместо IIII),
XIX = 10 + 10 - 1 = 19 (вместо XVIIII),
XL = 50 - 10 =40 (вместо XXXX),
XXXIII = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 33 и т.д.

Примеры записи чисел римскими и арабскими цифрами

Позиционные системы счисления.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от её положения в числе (позиции). Количество используемых цифр называется основанием системы счисления.

Самой первой такой системой, когда счетным "прибором" служили пальцы рук, была пятеричная.

Следующей после пятеричной возникла двенадцатеричная система счисления. Возникла она в древнем Шумере. Некоторые учёные полагают, что такая система возникала у них из подсчёта фаланг на руке большим пальцем. Широкое распространение получила двенадцатеричная система счисления в XIX веке.

Следующая позиционная система счисления была придумана еще в Древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричная, т.е. в ней использовалось шестьдесят цифр! В более позднее время использовалась арабами, а также древними и средневековыми астрономами. Шестидесятеричная система счисления, как считают исследователи, являет собой синтез уже вышеупомянутых пятеричной и двенадцатеричной систем.

В настоящее время наиболее распространены десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Двоичная, восьмеричная (в настоящее время вытесняется шестнадцатеричной) и шестнадцатеричная система часто используется в областях, связанных с цифровыми устройствами, программировании и вообще компьютерной документации. Современные компьютерные системы оперируют информацией представленной в цифровой форме. Числовые данные преобразуются в двоичную систему счисления.

Десятичная система счисления — позиционная система счисления по основанию 10. Предполагается, что основание 10 связано с количеством пальцев рук у человека. Наиболее распространённая система счисления в мире. Для записи чисел используются символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, называемые арабскими цифрами.

Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2. Используются цифры 0 и 1. Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и удовлетворяет требованиям:

• Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы.
• Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать.
• Простота создания таблиц сложения и умножения — основных действий над числами

Укажем соответствие десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в таблице.

При одновременной работе с несколькими системами счисления для их различения основание системы обычно указывается в виде нижнего индекса, который записывается в десятичной системе:

123₁₀ — это число 123 в десятичной системе счисления;

1111011₂ — то же число, но в двоичной системе.

Для перевода чисел из двоичной в восмеричную, и шестнадцатиричную системы, а так же наоборот можно воспользоваться следующим правилом: группа цифр из трех (для восьмеричной) или из четырех (для шестнадцатиричной) символов двоичной системы заменяются на соответствующую цифру для 8чной и 16чной системы и наоборот в соответствии с таблицей

Чтобы перевести число из одной системы счисления в другую, необходимо разделить его на основание той системы, в которую оно переводится. Полученный остаток будет младшим разрядом числа в новой системе счисления. Частное от деления делится на основание, остатов – это следующий разряд и т.д. деление продолжается до тех пор пока не получится частное, меньшее основания системы, в которую мы переводим. Это будет старший разряд числа в новой системе счисления.