Перестановки, размещения и сочетания без повторений

Пусть дано множество M={a₁, a₂, a₃, ..., a_n}. Набор элементов из множества М называется выборкой объема m из n элементов. Выборка называется упорядоченной, если в ней задан порядок следования. Если порядок следования не является существенным, то выборка называется неупорядоченной.

Размещениями без повторений из n элементов по m называются упорядоченные выборки без повторений элементов множества, которые отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения. Число размещений из n элементов по m будем обозначать .

Пример2.1. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

Составить разные числа можно способами.

Перестановками без повторений из n элементов называются размещения из n элементов по n. Обозначим число перестановок объема n как P_n.

Пример 2.2. Сколькими способами можно расставить на полке 6 томов книг?

Это можно осуществить способами.

Сочетаниями без повторений из n элементов по m называются любые подмножества из m элементов исходного множества. Число сочетаний без повторений будем обозначать .

Пример 2.3. На тренировках занимаются 8 баскетболистов. Сколько разных стартовых пятерок может быть образовано тренером?

Т.к. при образовании пятерки важен только ее состав, то достаточно определить пятерок.

Число обладает следующими свойствами:

1. ;

2. ;

3. при любых a, b Î R (бином Ньютона).

В силу свойства 3, числа называют биномиальными коэффициентами.