Подгруппа. Критерий подгруппы.

Def: ] G(×)– группа G₁ÌG, тогда группа G₁(×)– подгруппа группы G. Обозначается G₁< G.

Утв.: ] G₁<G: 1) Если е – единичный элемент G и е¢– ед. элемент G₁, то е=е¢; 2) аÎG, если а_G^-¹– обратный в G и а_G₁^-¹обратный в G₁, то

а_G^-¹=а _G₁^-¹◄►.

Утв. (Критерий подгруппы): ] G₁ÌG(×),G(×)– группа, тогда G₁(×)– подгруппа Û " a,bÎG₁Þ a×b^-¹ÎG₁ ◄²Þ² очевидно. ²Ü² надо показать, что G₁(×)– группа: а) по условию, положив b=a, получим a×а^-¹=еÎG₁; б) т.к. е×b^-¹ÎG₁ Þ " bÎG элемент b^-¹ÎG₁; в) ассоциативность есть, т.к. G₁ÌG; г)] a,bÎG₁, по пункту (б) b^-¹ÎG₁ Þ

a×(b^-¹)^-¹= a×bÎG₁ Þ ²×² – операция на G₁►.

Подкольцо. Критерий подкольца.

Def: ] К(+,×) – кольцо К₁ÌК, тогда кольцо К₁(+,×) – подкольцо кольца К. Обозначается К₁< К.

Утв. (Критерий подкольца): К(+,×) – кольцо К₁ÌК, К₁– подкольцо Û 1) "a,bÎК₁, a-bÎК₁; 2) "a,bÎК₁, a×bÎК₁.

Подполе. Критерий подполя.

Def: ] Р(+,×)– поле Р₁ÌР, тогда поле Р₁(+,×)– подполе поля Р. Обозначается Р₁< G.

Утв. (Критерий подполя): К(+,×) – поле Р₁ÌР Р₁– подполе Û 1) "a,bÎР₁, a-bÎР₁; 2) "a,bÎР₁, b¹0, a×b^-¹ÎР₁.

Гомоморфизмы алгебраических структур с одной и двумя бинарными операциями. Примеры.

Def: ] А(×), В(*)– мн-ва с бинарными операциями ²×² и ²*². Отображение j:А®В называется гомоморфизмом, если "a,bÎА j(a×b)=j(a)*j(b). Если j– сурьективно, то j– эпиморфизм; если j– инъективно, то j–мономорфизм; если j–биективно, то j–изоморфизм.

Утв.: ] j: А(×)®В(*) – эпиморфизм, тогда: 1) если в А(×)$ е – ед. элемент, то j(е) – ед. элемент в В(*); 2) если aÎА(×) – обратим, то j(a) – обратим в В(*), кроме того, j(a^-¹)=(j(a))^-¹; 3) если ²×² ассоц. (коммут.), то ²*² ассоц. (коммут.) ◄1)еÎА– ед.элемент в А. Рассмотрим образ j(е)ÎВ. Заметим, что т.к. j– эпиморфное (в частности j– срьективна), то " bÎВ $ j^-¹(е)ÎА: j(j^-¹(b))=b, тогда j(а×е)=j(е×а)=j(а) Þ т.к. j– гомоморф. получаем: j(а)×j(е)=j(е)×j(а)=j(а) Þ " bÎB b×j(е)=j(e)×b=b, т.е. j(e)– ед. эл.; 2) и 3) самостоятельно►. Следствие: Гомоморфный образ полугруппы, группы, аб. Группы есть полугруппа, группа, аб. группа соответственно.

Def: ] M(+,×), K(°,*) – мн-во с двумя бинарными операциями. Отображение j: M®K наз. гомоморфизмом, если " a,bÎM:

1) j(a+b)=j(a)°j(b); 2) j(a×b)=j(a)*j(b).

Утв.: Гомоморфный образ кольца (поля) есть кольцо (поле) ◄►.

Вывод: 1)На мн-ве всех групп (колец, полей) рассмотрим отношение: А@В Û $ j:А®В: j– изоморфизм, тогда ²@² – отношение эквивалентности. Мн-во всех групп (колец, полей) разбивается на классы изоморфных групп (колец, полей). Объекты одинаковы, если они изоморфны.

Пр.: 1) R₊ – мн-во положит. действит. чисел. Рассмотрим отображение j: R₊(×)®R(+) (a|®loga), j– гомоморфизм

j(a×b)=j(a)+j(b), log(a×b)=log(a)+log(b);

2)j: Z(+)®2Z(+) (a|®2a), j(a+b)=2(a+b) и j(a)+j(b)=2a+2b – совпадают Þ j–гомоморфизм;

3) j: Z(×)®2×Z(×) (a|®a×2), j(a×b)=2a×b и j(a)×j(b)=2a×2b – не явл. гомоморфизмом;

4) j: Z(+)®N₀(+) (m|®|m|), |n+m|¹|m|+|n| – не явл.;

5) j: Z(×)®N₀(×), |n×m|¹|m|×|n| – гомоморфизм.

Подгруппа, порожденная заданным подмножеством. Примеры.

Def: ] G– группа MÌG. Тогда <M>_G=ÇG_i (G_i<G, MÌG_i) наз. подгруппой порожденной на мн-ве M в группе G (т.е. это минимальная подгруппа группы G содерж. мн-во M).

Th: ] G– группа MÌG. Тогда причем будем считать при k=0 ²1²Î<M>_G. //Лирическое отступление: N₀={0}ÈN. Например, k=1 M={m₁m₂}

Обозначим {…} H. Надо показать, что <M>_G=Н ◄Покажем, что Н – подгруппа группы G. Действительно, по критерию подгруппы имеем: Покажем, что Н=<M>_G пересечение всех подгрупп: а) т.к. H<G и MÌH, то ÇG₀ÌH (G_i<G, MÌG_i); б) Покажем, что <M>_GÉН (мн-во произвед. длины k). При k=0: ²1²Î<M>_G; k=1: " mÎM, m^-1Î<M>_G (т.к. mÎM, mÎ<M>_G, Î<M>_G – группа); k=2: " m₁,m₂ÎM, m₁^e¹,m₂^e²Î<M>_G и т.д., т.е. <M>_GÉН►.

Пр.: Z(+), покажем что Z =<1>. Действительно: k=0: 0ÎZ; k=1: 1ÎZ, -1ÎZ ;