Пусть на множестве Х задано правило, которое любой паре элементов x, y из множества Х (xÎХ, yÎХ) ставит в соответствие единственный элемент z из того же множества Х (zÎХ). Такое правило называется бинарной операцией.
Для обозначения бинарной операции используется запись, при которой пары элементов соединяются специальным значком: xTy=z.
Пример. Пусть в качестве Х выступает множество действительных чисел R. Примерами операций на множестве R могут служить сложение (+), вычитание (-), умножение (·).
Свойства бинарных операций
1. Операция T называется коммутативной, если для любых элементов x,yÎХ справедливо равенство: xTy=yTx .
2. Операция T называется ассоциативной, если для любых элементов x,y,zÎХ справедливо равенство:(xTy)Tz=xT(yTz) .
Пример. Операции “+” и “·” коммутативны и ассоциативны, а операция “-” этими свойствами не обладает.
3. Операция T называется дистрибутивной относительно операции ^, если для любых элементов x, y, z Î Х справедливы равенства:
x T(y^z) = (xTy)^(xTz), (y^z)Tx = (yTx)^(zTx).
Пример. Очевидно, операция “·” дистрибутивна относительно операции “+”, “-”, причём две последние не являются дистрибутивными относительно “·”.
Элемент е называется нейтральным, или единичным, относительно операции T, если для любого xÎХ выполняются равенства: xTе = еTx = x.
Докажем, что если нейтральный элемент существует, то он единственный.
ÿ Предположим, что существуют, по крайней мере, два различных нейтральных элемента e1¹e2. Тогда, по определению единичного элемента, для любого xÎХ выполняются равенства:
xTe1= e1Tx = x; (*)
xTe2= e2Tx = x. (**)
Выберем x = e2и подставим его в формулу (*): e2Te1= e1Te2=e2.
Выберем x = e1и подставим его в формулу (**): e1Te2= e2Te1=e1.
Из двух последних равенств следует, что e1=e2, а это противоречит предположению. Следовательно, нейтральный элемент единственный.
ÿ
Пример. Для операции “·” нейтральным элементом является 1, а для “+” - 0.