Множество. Способы задания множеств

Одним из основных исходных понятий математики является понятие множества и его элементов. Множество состоит из элементов. Множества обозначаются большими латинскими буквами: A; B; C..., а их элементы - малыми буквами: a₁,a₂,...,a_n,...; b₁,b₂,...,b_m,...; c₁,c₂,...,c_k,...

Если a является элементом множества A или, что то же самое, a принадлежит множеству A, то применяют запись aÎA; в противном случае пишут aÏA.

Два множества A и B равны (A=B), если они состоят из одних и тех же элементов. Если множества A и B не равны, то применяется запись A ¹ B.

Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным, в противном случае множество называется бесконечным. Конечное множество, содержащее n элементов, называется n-множеством.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается Æ.Предположим, что все множества, которые будут рассмотрены в этой главе, являются подмножествами некоторого множества U, называемого универсальным множеством.

а б

Рис. 1.1.

Если каждый элемент а множества В, аÎВ, является элементом множества А, аÎА, то В называется подмножеством множества А (рис. 1.1, а). Этот факт записывается с помощью знака включения Í следующим образом: ВÍА.

Свойства включения

1. АÍ А;

2. если АÍ В и ВÍС, то АÍС (рис. 1.1, б);

3. из двух включений ВÍА и АÍ В следует, что А=В.

Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества.

Пример 1.1. Составить все подмножества для A={3,6,9}.

Решение. Их восемь: Æ, {3}, {6}, {9}, {3,6}, {3,9}, {6,9}, {3,6,9}.

Если ВÍ А и при этом В¹А, то этому соответствует запись ВÌ А и В называется собственным подмножеством А. В решении примера 1.1 все множества, кроме последнего, являются собственными подмножествами множества А.

Для описания множества A, состоящего из элементов a₁,a₂,...,a_n,... обычно применяется запись A={a₁,a₂,...,a_n,...}, причём порядок элементов в фигурных скобках не имеет значения; обычно он определяется соображениями наглядности.

Пример. В записи множества первых n натуральных чисел N_n={1,2,...,n} удобно располагать числа в возрастающем порядке, хотя при этом надо иметь в виду, что

N₃ ={1,2,3}={2,1,3}={3,2,1}.

Другой способ задания множества состоит в описании свойств, однозначно определяющих принадлежность элементов данному множеству. Такому способу задания множества соответствует запись:

A ={a/a обладает свойством P(a)}.

Пример. Множество чётных чисел M может быть задано так:

M={i / i - целое число, которое делится на 2 без остатка}.

В случае описания множества с помощью некоторого свойства необходимо следить за тем, чтобы каждый элемент был чётко определён. Так, например, недостаточно чётким является определение множества А как множества слов русского языка, если нет ссылки на один из толковых словарей.

Возможно также рекурсивное задание множества, при котором осуществляется последовательное описание элементов через предыдущие. Например, множество натуральных чисел рекурсивно можно задать так: N={i / если целое iÎN, то i+1ÎN, i ³ 1}.