Соответствие, отображение

1. Упорядоченной парой называют пару элементов (x,y) такую, что равенство двух пар (x,y) = (a,b) возможно тогда и только тогда, когда x = a и y = b.

2. Прямым (декартовым) произведением двух множеств A и B называется множество A×B = {(x,y) x  A, y  B }

3. Три свойства прямого произведения.

4.

5.

6. Соответствием между множествами A и B называют любое подмножество G их прямого произведения.

7. Областью определения соответствия (илипервой проекцией) называется множество
Dom G = пр₁ G = { x ( x,y )  G }

8. Областью значений соответствия (иливторой проекцией) называется множество
ImG = пр₂ G = { y (x,y )  G }.

9. Сечением соответствия G по элементу x₀называется множество G_x0 = { y (x₀,y)  G }.

10. Сечением соответствия G по элементу y₀называется множество G_y0 = { y( x,y₀ )  G }.

11. Соответствием, обратным соответствию G, называется множество

12. Пустым называется соответствие, которое не содержит ни одного элемента.

13. Соответствие называется полным, если G = A×B.

14. Матрицы, каждый элемент которых равен нулю или единице, называются булевыми.

15. Дизъюнкция  и конъюнкция .

16. Пусть заданы три множества X, Y и Z и два соответствия - G ₁  X×Y и G ₂  Y×Z. Композицией соответствий G ₁ и G ₂называется подмножество G ₃ прямого произведения X×Z: G ₃ = G ₂ G ₁ = { (x,z)  (x,y)  G ₁ , (y,z)  G ₂ }.

17. Композиция G₂ G ₁  , если пересечение Dom G₂ ImG ₁  .

18. Соответствие G  X×Y называетсяотображением, если область определения соответствия совпадает с множеством X (т.е. Dom G = X или пр₁ G = X).

19. Отображение называется функциональным (или однозначным), если любое сечение G_xсодержит только один элемент.

20. Шесть свойств отображений. Если f: X Y и A₁  A₂  X, B₁  B₂  Y, то

1. f(A₁)  f(A₂),

2. f(A₁A₂)=f(A₁)f(A₂),

3. f(A₁A₂)  f(A₁)f(A₂),

4. f^1(B₁)  f^1(B₂),

5. f^1(B₁B₂)=f^1(B₁)f^1(B₂),

6. f^1(B₁B₂)=f^1(B₁)f^1(B₂),

21. Отображение f:X  Y называетсясюръективным или отображением на множество Y, если Imf = Y. Другими словами, f сюръективно, если каждый элемент y  Y имеет хотя бы один прообраз, т.е.  y  Y  x X:y = f( x ).

22. Отображение f:X  Y называетсяинъективным, если из условия x₁  x₂ следует, что f( x₁ )  f( x₂ ), т.е. различные элементы множества X должны иметь различные образы.

23. Отображение называется биективным если оно одновременно сюръективно и инъективно.

24. Пусть заданы два отображения f:X  Y и g:Y Z. Композицией отображений (сложным отображением, суперпозицией отображений)называют отображение :X  Z, определяемое условием ( x) = g f( x ) = g( f( x ) ), x  X.

25. Композиция отображений ассоциативна, т.е. для заданных трех отображений f:X Y, g:Y Z, h:X  Z, справедливо равенство h ( gf ) = ( h g ) f.

26. Отображение g называется обратным к отображению f если одновременно выполняются два условия g f = e_X и f g = e_Y .

27. Когда справедливо только одно из двух условий, например, g f = e_X , то g называютлевым обратным отображением. Соответственно, если выполнено только второе равенство f g = e_Y , то g называютправым обратным отображением.

28. Лемма.Если для композиции двух отображений выполняется равенство g f = e_X , то g является сюръекцией, а f - инъекцией.

29. Теорема.Отображение f:X  Y имеет обратное тогда и только тогда, когда f является биективным отображением.

30. Если f:X  Y биективно, то обратное отображение f ^{ 1}:Y  X также является биекцией, причем ( f ^{ 1} ) ^{ 1} = f.

31. Пусть f:X  Y и g:Y  Z биективные отображения. Тогда: композиция gf биективных отображений биективна. ( g f ) ^1= f ^{ 1} g ^{ 1}.