Высказывания и операции над ними

В математике под высказыванием понимают утверждение, которому может быть приписано значение истинности. Обычно используют два значения: «истина» и «ложь», и говорят соответственно об истинности или ложности высказываний. Например, в арифметике высказывания «1≤2», «2⋅2=4» считаются истинными, а высказывание «0=1» ложным. В геометрии аксиомы считают истинными высказываниями; истинность других высказываний устанавливают, доказывая теоремы. Высказывания и доказательства в математике (и ряде других областей знания) строятся по определенным точно формулируемым правилам. Для описания этих правил, построения и анализа высказываний и доказательств используется математическая логика.

Высказывания будут обозначаться, как правило, большими латинскими буквами, значения истинности – символами 0 (ложь) и 1 (истина). Значение истинности высказывания A обозначается через [A]. Запись [A]=1означает, что высказывание A истинно, а запись [A]=0 – что высказывание A ложно. Рассмотрим логические операции, которые, будучи примененными к одному или двум высказываниям, позволяют получить новые высказывания.

Отрицание. Отрицание высказывания A обозначается через A или через A; читается «не A». Высказывание A истинно, если A ложно, и ложно, если A истинно. Значение истинности высказывания A определяется формулой

[A]=1 – [A].

Конъюнкция. Конъюнкция высказываний A и B обозначается через A∧B; читается «A и B». Высказывание A∧B истинно, если истинны оба высказывания A и B, и ложно, если ложно хотя бы одно из этих высказываний. Значение истинности высказывания A∧B определяется формулой

[A∧B] = min{[A], [B]}.

Дизъюнкция. Дизъюнкция высказываний A и B обозначается через A∨B; читается «A или B». Высказывание A∨B ложно, если ложны оба высказывания A и B, и истинно, если истинно хотя бы одно из этих высказываний. Значение истинности высказывания A∨B определяется формулой

[A∨B] = max{[A], [B]}.

Импликация. Импликация высказываний A и B обозначается через A→B; читается «если A, то B», «из A следует B». Высказывание A→B ложно, если высказывание B ложно, а высказывание A истинно; во всех остальных случаях высказывание A→B истинно. Высказывание A называют посылкой импликации BA→, а высказывание B – заключением. Значение истинности высказывания A→B определяется формулой

[A→B] = max{1 – [A], [B]}.

Предыдущие определения можно свести в следующие таблицы:

A A A B A∧B A∨B A→B

----------- -----------------------------------------------

0 1 0 0 0 0 1

1 0 0 1 0 1 1

1 0 0 1 0

1 1 1 1 1

Примеры.

[2=3]=[2≠3] = 1; [2<3 ∨ 2=3] = [2≤3] = 1;

[2=2 ∧ 2=3] = 0; [2=3 → 2=2] = 1; [2=2 → 2=3] = 0.􀀀