Билет 45.

Гамильтонов путь в графе и его поиск.

Гамильтонов путь – путь через все вершины, причем каждая встречается только 1 раз.

Алгоритм Фаулкса

Составляем матрицу достижимости за 1 шаг

Находим её степени. для каждой выполняем упрощение по схеме ниже:

Вершина (операция) является начальной вершиной ГП, если во всей строке матрицы стоят единицы, а во всем столбце (за исключением их пересечения) - нули. Вершина (операция) является конечной вершиной ГП, то во всей строке матрицы стоят нули (за исключением их пересечения), а во всем столбце - единицы.

Упрощаем её, вычеркивая из нее строки и столбцы, соответствующие начальной или (и) конечной вершине ГП. Получаем матрицу (RN)'.

Продолжаем до тех пор пока матрица не станет равна сама себе в предыдущей степени или все её элементы не станут единицами

Составляем матрицу Rb , возвращая в матрицу, строки и столбцы, вычеркнутые во всех циклах вычислений.

перегруппировываем одновременно строки и столбцы матрицы таким образом, чтобы все нули были расположены под главной диагональю, а единицы - над ней.

Квадратные матрицы, состоящие из единиц, опирающихся на главную диагональ, образуют классы эквивалентности вершин (совокупности вершин графа, эквивалентных с точки зрения очередности их присутствия в гамильтоновом пути).

Если для данного графа мы получили m классов эквивалентности (m £ n), то есть B1,…,Bm , и в каждый класс эквивалентности Bd , d = 1,2,…,m входят Sd вершин графа, то можно сказать, что вершины, входящие в класс эквивалентности Bd, расположенные выше и левее класса эквивалентности Bl в матрице Rc будут предшествовать в Гамильтоновом пути вершинам из класса эквивалентности Bl .

Еще есть алгоритм перебора.

Билет 46.

Эйлеров путь в графе и его поиск.

Теорема Эйлера для неориентированных графов: для того чтобы на графе существовал замкнутый эйлеров путь (маршрут), необходимо и достаточно, чтобы граф был связным и степени всех его вершин были четными.

Теорема Эйлера для ориентированных графов: для того чтобы на ориентированном графе существовал замкнутый ЭП, необходимо и достаточно, чтобы граф был связным и для каждой его вершины полустепень исхода равнялась полустепени захода .

Для нахождения ЭП на графе:

выбираем начальную вершину. все рёбра считаем непомеченными. выбираем следующую вершину по принципу туда есть дуга и она раньше не использовалась и номер минимальный. помечаем ребро. продолжаем так пока не станет некуда идти или путь не замкнётся. Берём другую начальную вершину, которая ещё не использовалась. строим новый контур. Объединение контуров и будет ЭП.