Теорема

Для того, чтобы множество А являлось подмножеством множества В, необходимо и достаточно, чтобы A\B = Ø.

Множество всех подмножеств множества А обозначают 2^A. Ясно, что Ø 2^A и А 2^A. Они называются несобственными подмножествами множества А. Остальные подмножества (если они есть) называются собственными.

Пример

Пусть А = {1,2,3}. Ясно, что 2^A = {Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}.

Операции над мно­жествами и их свойства.

Алгебраическимиоперациями называют такие, при выполнении которых результирующее множество либо пусто, либо состоит из элементов, из которых состоят и множества, подвергающиеся операциям.

Кардинальными операциями называют такие операции, при выполнении которых появляются новые элементы.

Основными алгебраическими операциями над множествами являются следующие:

- пересечение множеств,

- объединение множеств.

-разность множеств.

Пусть А и В - произвольные множества. Их пересечением называется множество

А В={x| x A и x B}.

Объединениеммножеств А и В называется множество

А В={x|x A или x B}.

Разностьюмножеств А и В называется множество А\В={x|x A, но x B}.

Используя понятие универса, можно ввести еще две операции над множествами - дополнение и симметрическую разность множеств.

Дополнением множества А (до универса J) называется множество =J\A, т.е. ={x| x J, но x A}.

Симметрической разностьюмножеств А и В называется множество

А В=(A\B) (B\A).

Если А В= , то говорят, что множества А и В не пересекаются.

Геометрическое изображение.