Функциональные отношения

Пусть r Í Хх Y.

Функциональное отношение– это такое бинарное отношение r,у которого каждому элементу соответствует ровно один такой, что пара принадлежит отношению или такого не существует совсем: или.

Функциональное отношение –это такое бинарное отношение r,длякоторого выполняется: .

Всюду определённое отношение– бинарное отношение r, для которого D_r =Х("нет одиноких х").

Сюръективное отношение– бинарное отношение r, для которого J_r = Y("нет одиноких y").

Инъективное отношение – бинарное отношение, в котором разным хсоответствуют разные у.

Биекция– функциональное, всюду определённое, инъективное, сюръективное отношение, задаёт взаимно однозначное соответствие множеств.

Например:

Пусть r = { (x, y) Î R² | y² + x² = 1, y > 0 }.

Отношение r - функционально,

не всюду определено ("есть одинокие х"),

не инъективно (есть разные х,которым соответствуют одинаковые у),

не сюръективно ("есть одинокие у"),

не биекция.

Например:

Пусть Ã= {(x,y) Î R² | y = x+1}

Отношение Ã- функционально,

Отношение Ã- всюду определено ("нет одиноких х"),

Отношение Ã- инъективно (нет разных х,которым соответствуют одинаковые у),

Отношение Ã- сюръективно ("нет одиноких у"),

Отношение Ã- биективно, взаимно-однородное соответствие.

Например:

Пусть j={(1,2), (2,3), (1,3), (3,4), (2,4), (1,4)} задано на множестве N₄.

Отношение j - не функционально, x=1 соответствует три y: (1,2), (1,3), (1,4)

Отношение j - не всюду определенно D_j={1,2,3}¹ N₄

Отношение j - не сюръективно I_j={1,2,3}¹ N₄

Отношение j - не инъективно, разным x соответствуют одинаковые y, например (2,3) и (1,3).

Задание к лабораторной работе

1. Заданы множества N1 и N2. Вычислить множества:

(N1хN2) Ç (N2хN1);

(N1хN2) È (N2хN1);

(N1 Ç N2)x(N1 Ç N2);

(N1 È N2)x(N1 È N2),

где N1 = {цифры номера зачетной книжки, три последние};

N2 = {цифры даты и номера месяца рождения}.

2. Отношения rиgзаданы на множествеN₆={1,2,3,4,5,6}.

Описать отношения r,g,r^-1, r ○g, r^-1 ○gсписком пар.

Найти матрицы отношений rиg.

Для каждого отношения определить область определения и область значений.

Определить свойства отношений.

Выделить отношения эквивалентности и построить классы эквивалентности.

Выделить отношения порядка и классифицировать их.

1) r= {(m,n) | m > n }

g= {(m,n) | сравнение по модулю 2}

2) r= {(m,n) | (m - n)делится на 2}

g= {(m,n) | mделитель n }

3) r= {(m,n) | m < n }

g= {(m,n) | сравнение по модулю 3}

4) r= {(m,n) | (m + n)- четно}

g= {(m,n) | m²=n }

5) r= {(m,n) | m / n -степень 2 }

g= {(m,n) | m = n }

6) r= {(m,n) | m / n -четно}

g = {(m,n) | m³n }

7) r= {(m,n) | m / n -нечетно }

g= {(m,n) | сравнение по модулю 4}

8) r= {(m,n) | m * n -четно }

g= {(m,n) | m£n }

9) r= {(m,n) | сравнение по модулю 5}

g= {(m,n) | mделится наn }

10) r= {(m,n) | m- четно, n - четно}

g= {(m,n) | mделительn }

11) r= {(m,n) | m = n }

g= {(m,n) | (m + n)£5 }

12) r={(m,n) | mи n имеют одинаковый остаток от деления на 3}

g= {(m,n) | (m-n)³2}

13) r= {(m,n) | (m + n) делится нацело на 2 }

g = {(m,n) | 2 £(m-n)£4}

14) r= {(m,n) | (m + n) делится нацело на 3 }

g= {(m,n) | m¹n }

15) r= {(m,n) | mи nимеют общий делитель }

g= {(m,n) | m ²£n }

16) r= {(m,n) | (m - n) делится нацело на 2 }

g= {(m,n) | m < n +2 }

17) r= {(m,n) | сравнение по модулю 4 }

g= {(m,n) | m£n }

18) r= {(m,n) | mделится нацело наn }

g= {(m,n) | m¹n , m- четно}

19) r= {(m,n) | сравнение по модулю 3 }

g= {(m,n) | 1 £(m-n)£3}

20) r= {(m,n) | (m - n) делится нацело на 4 }

g= {(m,n) | m¹n }

21) r= {(m,n) | m- нечетно, n - нечетно}

g= {(m,n) | m£n , n-четно}

22) r= {(m,n) | m и n имеют нечетный остаток от деления на 3 }

g= {(m,n) | (m-n)³1}

23) r= {(m,n) | m * n -нечетно }

g= {(m,n) | сравнение по модулю 2}

24) r= {(m,n) | m * n -четно }

g= {(m,n) | 1 £(m-n)£3}

25) r= {(m,n) | (m+ n) - четно}

g= {(m,n) | m не делится нацело на n }

26) r= {(m,n) | m = n }

g= {(m,n) | m делится нацело на n }

27) r= {(m,n) | (m - n )-четно}

g= {(m,n) | m делитель n }

28) r= {(m,n) | (m-n)³2}

g= {(m,n) | m делится нацело на n }

29) r= {(m,n) | m ² ³ n }

g= {(m,n) | m / n -нечетно}

30) r= {(m,n) | m³n, m -четно}

g= {(m,n) | m и nимеют общий делитель, отличный от 1}

3. Определить является ли заданное отношение f -функциональным, всюду определенным, инъективным, сюръективным, биекцией (R- множество вещественных чисел). Построить график отношения, определить область определения и область значений.

Выполнить это же задание для отношений rи g из пункта 3 лабораторной работы.

1) f={ (x, y) Î R² | y=1/x +7x }

2) f={ (x, y) Î R² | x³y }

3) f={ (x, y) Î R² | y³x }

4) f={ (x, y) Î R² | y³x, x³ 0 }

5) f={ (x, y) Î R² | y² + x² = 1 }

6) f={ (x, y) Î R² | 2| y | + | x | = 1 }

7) f={ (x, y) Î R² | x + y£ 1 }

8) f={ (x, y) Î R² | x = y² }

9) f={ (x, y) Î R² | y = x³ + 1}

10) f={ (x, y) Î R² | y = -x² }

11) f={ (x, y) Î R² | | y | + | x | = 1 }

12) f={ (x, y) Î R² | x = y ^-2 }

13) f={ (x, y) Î R² | y² + x² ³1, y> 0 }

14) f={ (x, y) Î R² | y² + x² = 1, x> 0 }

15) f={ (x, y) Î R² | y² + x²£ 1, x> 0 }

16) f={ (x, y) Î R² | x = y² ,x³ 0 }

17) f={ (x, y) Î R² | y = sin(3x + p) }

18) f={ (x, y) Î R² | y = 1 /cos x }

19) f={ (x, y) Î R² | y = 2| x | + 3 }

20) f={ (x, y) Î R² | y = | 2x + 1| }

21) f={ (x, y) Î R² | y = 3^x }

22) f={ (x, y) Î R² | y = e^-x }

23) f ={ (x, y)Î R² | y = e^{| x |} }

24) f={ (x, y) Î R² | y = cos(3x) - 2 }

25) f={ (x, y) Î R² | y = 3x² - 2 }

26) f={ (x, y) Î R² | y = 1 / (x + 2) }

27) f={ (x, y) Î R² | y = ln(2x) - 2 }

28) f={ (x, y) Î R² | y = | 4x -1| + 2 }

29) f={ (x, y) Î R² | y = 1 / (x²+2x-5)}

30) f={ (x, y) Î R² | x = y³, y³ - 2 }.

Контрольные вопросы

1.Декартово или прямое произведение множеств.

2.Определение бинарного отношения.

3.Способы описания бинарных отношений.

4.Область определения и область значений.

5.Свойства бинарных отношений.

6.Отношение эквивалентности и классы эквивалентности.

7.Отношения порядка: строгого и нестрого, полного и частичного.

8.Классы вычетов по модулю m.

9.Функциональные отношения.

10. Инъекция, сюръекция, биекция.

Лабораторная работа № 3